「2次元の内積の幾何学的な性質」の版間の差分

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2015年7月10日 (金) 07:57時点における版

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2次元の内積の定義は簡単です。{\boldsymbol a}=(a_1, a_2) 、{\boldsymbol b}=(b_1, b_2) とすると内積は


{\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}=a_1b_1+a_2b_2 ( 1 )


この単純な定義からは信じられないことですが、内積には非常に美しい幾何学的な性質があります。

2次元の内積の幾何学的性質.png

ベクトル \boldsymbol a と \boldsymbol b を図のようにベクトルの長さと偏角 r_a, \alpha、r_b, \beta で、表すと、 それぞれのベクトルの x、 y 成分は {\boldsymbol a} = (r_a\cos\alpha, r_a\sin\alpha)、{\boldsymbol b} = (r_b\cos\beta, r_b\sin\beta) となります。従って内積は


{\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}= r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) ( 2 )


となります。どこかで見た形ですよね？ そう、角度の加法定理です。角度の加法定理で 紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は


{\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha) ( 3 )


という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる \beta-\alpha はベクトル \boldsymbol a と \boldsymbol b がなす角度です。 つまり、内積はベクトル \boldsymbol a と \boldsymbol b が同じ向きの時 r_a r_b　となり、正のもっとも大きな値になります。 \boldsymbol a と \boldsymbol b が垂直の時 0 になります。


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