「指定方向のローレンツ変換」の版間の差分

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<math>v=\left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)=
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\left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)  </math> のケースで、
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4次元でちゃんと書くと
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\tanh\alpha=|v|, 
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\left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) =
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\left( \begin{array} {cccc}
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となりますが、時刻の同時性のずれは、 <math>v</math>方向の位置成分に比例するので
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<math>{\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) </math>
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とすると
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{{eqn|<math>
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t=\cosh\alpha+\sinh\alpha\frac{{\boldsymbol v}\cdot {\boldsymbol r'}}{|{\boldsymbol v}|}
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</math>|2}}

2016年3月17日 (木) 10:52時点における版

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ローレンツ変換は、空間1次元、時間1次元の2次元時空で扱うことが多いですが、 空間3次元、時間一次元の4次元時空ではどうなるかを探って見ました。

準備

まず座標系ですが、 txyz 座標系と t'x'y'z' 座標系の2個を用意します。 t と t' が時間軸、 xyz と x'y'z' が 空間軸です。

txyz と t'x'y'z' は原点一致しませんが、各軸の向きは同じとします。 また、t=t'~0 の時、 t'x'y'z' と t'x'y'z' の原点が 重なるとします。

t'x'y'z' の原点の txyz 座標系での速度を v = \left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right) とします。

なお、座標系の単位は幾何学座標系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。

2次元時空のローレンツ変換

美しいローレンツ変換 で紹介したローレンツ変換は v=\left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)= \left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) のケースで、 4次元でちゃんと書くと

\tanh\alpha=|v|, \left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cccc} \cosh\alpha & \sinh\alpha & 0 & 0 \\ \sinh\alpha & \cosh\alpha & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) ( 1 )

となりますが、時刻の同時性のずれは、 v方向の位置成分に比例するので {\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) とすると

t=\cosh\alpha+\sinh\alpha\frac{{\boldsymbol v}\cdot {\boldsymbol r'}}{|{\boldsymbol v}|} ( 2 )
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