指定方向のローレンツ変換

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ローレンツ変換は、空間1次元、時間1次元の2次元時空で扱うことが多いですが、 空間3次元、時間一次元の4次元時空ではどうなるかを探って見ました。

準備

まず座標系ですが、 $txyz$ 座標系と $t'x'y'z'$ 座標系の2個を用意します。 $t$ と $t'$ が時間軸、 $xyz$ と $x'y'z'$ が 空間軸です。

$txyz$ と $t'x'y'z'$ は原点一致しませんが、各軸の向きは同じとします。 また、$t=t'~0$ の時、 $t'x'y'z'$ と $t'x'y'z'$ の原点が 重なるとします。

$t'x'y'z'$ の原点の $txyz$ 座標系での速度を $v = \left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)$ とします。

なお、座標系の単位は幾何学座標系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。

x軸方向のローレンツ変換

美しいローレンツ変換 で紹介したローレンツ変換は $v=\left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)= \left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ のケースで、 4次元でちゃんと書くと

$\tanh\alpha=|v|, \left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cccc} \cosh\alpha & \sinh\alpha & 0 & 0 \\ \sinh\alpha & \cosh\alpha & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right)$

( 1 )

となります。これを任意方向の $v$ に拡張してみましょう。

時刻の同時性のずれは、 $v$方向の位置成分に比例するので、 ${\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right)$ 、${\boldsymbol u}=\left( \begin{array} {c} \frac{v_x}{|{\boldsymbol v}|} \\ \frac{v_y}{|{\boldsymbol v}|} \\ \frac{v_z}{|{\boldsymbol v}|} \end{array}\right)$とすると

$t=\cosh\alpha+\sinh\alpha({\boldsymbol u}\cdot {\boldsymbol r'})$

( 2 )

位置は ${\boldsymbol v}$ 方向のみローレンツ短縮が起きるので 位置の $v$ 方向成分が $({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u}$、位置の $v$ に対して垂直な成分が ${\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u}$ であることを考慮すると

${\boldsymbol r}=\sinh\alpha{\boldsymbol u}t + {\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} + \cosh\alpha({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u}$

( 3 )

これを行列に直すと、$\lambda = \cosh\alpha-1$ とすれば

$\left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cccc} \cosh\alpha & \sinh\alpha u_x & \sinh\alpha u_y & \sinh\alpha u_z \\ \sinh\alpha u_x & \lambda u_x^2+1 & \lambda u_xu_y & \lambda u_xu_z \\ \sinh\alpha u_y & \lambda u_yu_x & \lambda u_y^2+1 & \lambda u_yu_z \\ \sinh\alpha u_z & \lambda u_zu_x & \lambda u_zu_y & \lambda u_z^2+1 \end{array}\right) \left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right)$

( 4 )