オイラー角

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座標の回転を表現する方法には様々な方法がありますが、座標軸を3回回転させるオイラー角が最もポピュラーな方法です。オイラー角には、回す座標軸の順番によって12種類のバリエーションがあります。飛行機の姿勢を示すのに用いられ、z, y, x軸の順に座標軸を回転させるヨー・ピッチ・ロールは非常に有名ですが(航空業界で用いられているものは、角度の符号が異なります)、ここでは物理で剛体の回転の説明などで使われる Z-Y-Z オイラー角を説明します。

物理や数学で、Z-Y-Z オイラー角が用いられる理由の一つとしてあげられるのは、Z軸の倒し方が、3次元極座標のやり方と一致している点でしょう。

図中の方向ベクトル ${\boldsymbol e_1}$ , ${\boldsymbol e_2}$ , ${\boldsymbol e_3}$ は、座標系の回転を行う前の座標系 xyz座標系の、x, y, z軸の方向ベクトルです。

Z-Y-Z オイラー角では、まず、z軸( ${\boldsymbol e_3}$ )を軸の正方向に対して右に $\phi$ だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが ${\boldsymbol e^{'}_1}$ , ${\boldsymbol e^{'}_2}$ , ${\boldsymbol e^{'}_3}$ です。

Z-Y-Z オイラー角では、次に、Y'軸( ${\boldsymbol e^{'}_2}$ )を軸の正方向に対して右に $\theta$ だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが ${\boldsymbol e^{''}_1}$ , ${\boldsymbol e^{''}_2}$ , ${\boldsymbol e^{''}_3}$ です。

これで、Z''軸( ${\boldsymbol e^{''}_3}$ )の向きが定まります。Z''軸の向きは、xyz座標系において、 $\phi$ と $\theta$ で表される極座標のベクトルの向きと一致しています。

Z-Y-Z オイラー角では、最後に、Z''軸( ${\boldsymbol e^{''}_2}$ )を軸の正方向に対して右に $\psi$ だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが ${\boldsymbol e^{'''}_1}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_2}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_3}$ です。

この ${\boldsymbol e^{'''}_1}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_2}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_3}$ がオイラー角による回転後の座標系の座標軸の方向ベクトルです。

この回転で、元の座標軸の方向ベクトル ${\boldsymbol e_1}$ , ${\boldsymbol e_2}$ , ${\boldsymbol e_3}$ を回転後の座標系の座標軸の方向ベクトル ${\boldsymbol e^{'''}_1}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_2}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_3}$ へ移す行列は

\begin{array}{lll} R_{euler}(\phi, \theta, \psi) = R^{(z)}(\psi) R^{(Y)}(\theta) R^{(z)}(\phi) \\ = \left( \begin{array} {ccc} \cos\psi & \sin\psi & 0 \\ -\sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \left( \begin{array} {ccc} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \\ \end{array}\right) \left( \begin{array} {ccc} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ = \left( \begin{array} {ccc} \cos\phi\cos\theta\cos\psi-\sin\phi\sin\psi & \sin\phi\cos\theta\cos\psi+cos\phi\sin\psi & -\sin\theta\cos\psi \\ -cos\phi\cos\theta\sin\psi-\sin\phi\cos\psi & -\sin\phi\cos\theta\sin\psi+\cos\phi\cos\psi & \sin\theta\sin\psi \\ \cos\phi\sin\theta & \sin\phi\sin\theta & \cos\theta \end{array}\right) \end{array}

( 1 )

{\boldsymbol e^{'''}_i}=\sum_{j=1}^3R_{euler}(\phi, \theta, \psi)_{ij}{\boldsymbol e_j}

( 2 )

になります。

座標系 ${\boldsymbol e^{'''}_1}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_2}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_3}$ でのベクトル ${\boldsymbol A}$ の成分 $\left( \begin{array} {c} A^{'''}_1 \\ A^{'''}_2 \\ A^{'''}_3\end{array}\right)$ を座標系 ${\boldsymbol e_1}$ , ${\boldsymbol e_2}$ , ${\boldsymbol e_3}$ の成分 $\left( \begin{array} {c} A_1 \\ A_2 \\ A_3\end{array}\right)$ へ変換する式は、 $R_{euler}(\phi, \theta, \psi)$ の逆行列(=転置)を使って