直交補空間

直交補空間の定義

ラグランジュの未定乗数法の詳細な説明に入る前に、その基本的な仕掛けになっている直交補空間の説明から始めましょう。直交補空間にはもちろん数学的に厳密な定義もありますが、ここではラグランジュの未定乗数法で使いたいだけなので、ベクトル空間 $R^n$ と一般的な内積を使った安直な定義を採用することにします。

${\boldsymbol R^n}$ べクトル空間があって、普通に内積が定義されているとします。

このベクトル空間 ${\boldsymbol R^n}$ の部分空間を $V$ , $W$ とすると、 $V$ に対して

{\boldsymbol x} \in V \land {\boldsymbol y} \in W \to x\cdot y=0

( 1 )

かつ

V \bigoplus W \to {\boldsymbol R^n}

( 2 )

となる部分空間 $W$ を ${\boldsymbol R^n}$ における $V$ の直交補空間といいます( $\bigoplus$ は直和を表します。)。

何か難しいことを言っているように見えますが、例えば３変数( $x, y, z$ )の連立方程式

\begin{align}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = 0 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = 0\end{align}

( 3 )

の解 $\left(\begin{array}{c} x\\y\\z\end{array} \right)$ は、ベクトル ${\boldsymbol a_1} = \left(\begin{array}{c} a_{11}\\a_{12}\\a_{13}\end{array} \right)$ と　ベクトル ${\boldsymbol a_2} = \left(\begin{array}{c} a_{21}\\a_{22}\\a_{23}\end{array} \right)$ を基底とする部分空間の直交補空間です。つまり、連立方程式の係数と方程式の解の関係という、中学生の頃から慣れ親しんだ関係にちょっと考察を加えた程度の概念なのです。