オイラー角 - 変更履歴

2015年8月5日 (水) 05:16にNakamuriによる

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2015年7月10日 (金) 07:50にNakamuriによる

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2015年7月2日 (木) 04:13にNakamuriによる

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2015年6月20日 (土) 09:07にNakamuriによる

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2015年6月20日 (土) 09:06にNakamuriによる

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2015年6月13日 (土) 15:49にNakamuriによる

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2015年6月13日 (土) 12:05にNakamuriによる

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2015年6月13日 (土) 11:58にNakamuriによる

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2015年6月13日 (土) 02:08にNakamuriによる

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2015年6月13日 (土) 02:05にNakamuriによる

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 座標の回転を表現する方法には様々な方法がありますが、座標軸を3回回転させるオイラー角が最もポピュラーな方法です。

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 座標の回転を表現する方法には様々な方法がありますが、座標軸を3回回転させるオイラー角が最もポピュラーな方法です。

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 図中の方向ベクトル<math>{\boldsymbol e_1}</math>, <math>{\boldsymbol e_2}</math>, <math>{\boldsymbol e_3}</math>は、座標系の回転を行う前の座標系 xyz座標系の、x, y, z軸の方向ベクトルです。
 Z-Y-Z オイラー角では、まず、z軸(<math>{\boldsymbol e_3}</math>)を軸の正方向に対して右に <math>\phi</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{'}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'}_3}</math>です。
 Z-Y-Z オイラー角では、次に、Y'軸(<math>{\boldsymbol e^{'}_2}</math>)を軸の正方向に対して右に <math>\theta</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{''}_3}</math>です。
 これで、<nowiki>Z''軸</nowiki>(<math>{\boldsymbol e^{''}_3}</math>)の向きが定まります。<nowiki>Z''軸</nowiki>の向きは、xyz座標系において、<math>\phi</math>と<math>\theta</math>で表される極座標のベクトルの向きと一致しています。
 Z-Y-Z オイラー角では、最後に、<nowiki>Z''軸</nowiki>(<math>{\boldsymbol e^{''}_3}</math>)を軸の正方向に対して右に <math>\psi</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>です。
 この<math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>がオイラー角による回転後の座標系の座標軸の方向ベクトルです。
 この回転で、元の座標軸の方向ベクトル<math>{\boldsymbol e_1}</math>, <math>{\boldsymbol e_2}</math>, <math>{\boldsymbol e_3}</math>を回転後の座標系の座標軸の方向ベクトル<math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>へ移す行列は
 {{eqn|<math>
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 になります(<math>R_{euler}(\phi, \theta, \psi)_{ij}</math>は<math>R_{euler}(\phi, \theta, \psi)</math>の<math>i</math>行<math>j</math>列の要素)。
 座標系 <math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math> でのベクトル<math>{\boldsymbol A}</math>の成分<math>\left( \begin{array} {c} A^{'''}_1 \\ A^{'''}_2 \\ A^{'''}_3\end{array}\right)</math>を

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 {{eqn|<math>{\boldsymbol e^{'''}_i}=\sum_{j=1}^3R_{euler}(\phi, \theta, \psi)_{ij}{\boldsymbol e_j}</math>|2}}
-になります。
+になります(<math>R_{euler}(\phi, \theta, \psi)_{ij}</math>は<math>R_{euler}(\phi, \theta, \psi)</math>の<math>i</math>行<math>j</math>列の要素)。
 座標系 <math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math> でのベクトル<math>{\boldsymbol A}</math>の成分<math>\left( \begin{array} {c} A^{'''}_1 \\ A^{'''}_2 \\ A^{'''}_3\end{array}\right)</math>を

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 になります。
-座標系 <math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math> でのベクトル{\boldsymbol A}の成分<math>\left( \begin{array} {c} A^{'''}_1 \\ A^{'''}_2 \\ A^{'''}_3\end{array}\right)</math>を
+座標系 <math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math> でのベクトル<math>{\boldsymbol A}</math>の成分<math>\left( \begin{array} {c} A^{'''}_1 \\ A^{'''}_2 \\ A^{'''}_3\end{array}\right)</math>を
 座標系 <math>{\boldsymbol e_1}</math>, <math>{\boldsymbol e_2}</math>, <math>{\boldsymbol e_3}</math>の成分<math>\left( \begin{array} {c} A_1 \\ A_2 \\ A_3\end{array}\right)</math>へ変換する式は、<math>R_{euler}(\phi, \theta, \psi)</math>の逆行列(=転置)を使って