ラグランジュの運動方程式の導出 - 変更履歴

Nakamuri: /* ラグランジュの運動方程式からオイラーラグランジュの運動方程式へ */

2017-01-22T08:05:02Z

‎ラグランジュの運動方程式からオイラーラグランジュの運動方程式へ

2017-01-22T08:02:37Z

‎ラグランジュの運動方程式からオイラーラグランジュの運動方程式へ

2017-01-22T08:01:49Z

‎ラグランジュの運動方程式からオイラーラグランジュの運動方程式へ

2017-01-22T07:53:31Z

‎2つの公式の証明

2017-01-22T07:50:39Z

‎ダランベールの原理と仮想仕事の原理

2017-01-22T07:40:54Z

‎ダランベールの原理と仮想仕事の原理

2017-01-22T07:33:13Z

‎束縛条件と束縛力

2017-01-22T07:30:37Z

‎ダランベールの原理と仮想仕事の原理

2017-01-22T07:28:51Z

‎ダランベールの原理と仮想仕事の原理

2016-11-24T10:17:50Z

‎ラグランジュの運動方程式からオイラーラグランジュの運動方程式へ

@@ 240行: / 240行: @@
 {{eqn|<math> {\boldsymbol F_a}={\boldsymbol F_{\alpha_a}} + {\boldsymbol F_{\beta_a}} \ (a=1, 2, \cdots , N) </math>|23}}
-保存力は ポテンシャル <math>V</math> を使って、質点 <math>a</math> にかかる力の各デカルト座標方向の値 <math> F_{\alpha_a, i}</math> を計算すると
+保存力は ポテンシャル <math>V</math> を使って、質点 <math>a</math> にかかる保存力 <math>{\boldsymbol F_{\alpha_a}}</math> の各座標方向成分(<math>x, y, z</math>方向の値) <math> F_{\alpha_a, i}</math> を計算すると
 {{eqn|<math> F_{\alpha_a, i} = - \frac{\partial}{\partial r_{a, i}}V({\boldsymbol r_1}, {\boldsymbol r_2}, \cdots, {\boldsymbol r_N}, t) \ \ \ (i = 1, 2, 3)</math>|24}}

@@ 240行: / 240行: @@
 {{eqn|<math> {\boldsymbol F_a}={\boldsymbol F_{\alpha_a}} + {\boldsymbol F_{\beta_a}} \ (a=1, 2, \cdots , N) </math>|23}}
-保存力は ポテンシャル <math>V</math> を使って、質点 <math>a</math> にかかる力の各デカルト座標値 <math> F_{\alpha_a, i}</math> を計算すると
+保存力は ポテンシャル <math>V</math> を使って、質点 <math>a</math> にかかる力の各デカルト座標方向の値 <math> F_{\alpha_a, i}</math> を計算すると
 {{eqn|<math> F_{\alpha_a, i} = - \frac{\partial}{\partial r_{a, i}}V({\boldsymbol r_1}, {\boldsymbol r_2}, \cdots, {\boldsymbol r_N}, t) \ \ \ (i = 1, 2, 3)</math>|24}}

@@ 240行: / 240行: @@
 {{eqn|<math> {\boldsymbol F_a}={\boldsymbol F_{\alpha_a}} + {\boldsymbol F_{\beta_a}} \ (a=1, 2, \cdots , N) </math>|23}}
-保存力は ポテンシャル <math>V</math> を使って、力の各座標値 <math> F_{\alpha_a, i}</math> を計算すると
+保存力は ポテンシャル <math>V</math> を使って、質点 <math>a</math> にかかる力の各デカルト座標値 <math> F_{\alpha_a, i}</math> を計算すると
 {{eqn|<math> F_{\alpha_a, i} = - \frac{\partial}{\partial r_{a, i}}V({\boldsymbol r_1}, {\boldsymbol r_2}, \cdots, {\boldsymbol r_N}, t) \ \ \ (i = 1, 2, 3)</math>|24}}

@@ 150行: / 150行: @@
 {{eqn|<math>
-\frac{\partial {\boldsymbol r_a}}{\partial q_r} = \frac{\partial \dot{{\boldsymbol r_a}}}{\dot{\partial q_r}}
+\frac{\partial {\boldsymbol r_a}}{\partial q_r} = \frac{\partial \dot{{\boldsymbol r_a}}}{\partial {\dot q_r}}
 </math>|14}}

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 解析力学ではこれを一番基本の'''基礎方程式'''とします。
-'''「仮想変位」''' <math>\delta{\boldsymbol r_a}</math>の3N個の座標値がそれぞれが'''完全に独立'''ならば式(4)は式(2)と同等ですが、仮想変位<math>\delta{\boldsymbol r_a}</math>が後述する束縛条件に従う場合、式(4)は式(2)より条件が甘くなります。このように条件を甘くしてもちゃんと解けるのは、'''式(4)と束縛条件が連立すれば式(2)と同等になるからです'''。
+'''「仮想変位」''' <math>\delta{\boldsymbol r_a}</math>の3N個の座標値がそれぞれが'''完全に独立'''ならば式(4)は式(2)と同等ですが、仮想変位<math>\delta{\boldsymbol r_a}</math>が後述する束縛条件に従う場合、式(4)は式(2)より条件が甘くなります。このように条件を甘くしてもちゃんと解けるのは、直感的には、'''束縛条件から逸脱した変位がわずかでもあれば、必要な巨大な束縛力が生じ、式(2)が満足され、束縛条件から逸脱した方向の変位が限りなく0に近く抑えられるからです'''。
-このあたりの厳密な議論は後回しにして先に進みましょう。
+このあたりの数学的な厳密な取り扱いは、残念ながら私の手に余ります。
 ==束縛条件と束縛力==

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 束縛 <math>G_l</math> が2個なら、束縛(可能な経路)を表す曲線に対して垂直な力が束縛力です。
-以上の定義から、束縛力は仮想変位<math>\delta{\boldsymbol r_a}</math>に対して仕事をしませんから
+以上の定義から、束縛力は'''束縛によって動きが制限された仮想変位'''<math>\delta{\boldsymbol r_a}</math>に対して仕事をしませんから
 {{eqn|<math>\sum_a {\boldsymbol C_a}\cdot\delta{\boldsymbol r_a} = 0</math>|10}}

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 {{eqn|<math>\sum_a({\boldsymbol F_{m_a}} - m_a\ddot{{\boldsymbol r_a}})\cdot\delta{\boldsymbol r_a} = 0</math>|4}}
-となります。これは元々静力学の原理であった'''仮想仕事の原理'''のダランベールの原理(動力学)への拡張です。注意して欲しいのは、この式は、束縛条件の範囲内で取りうる'''任意の'''仮想変位で成り立つということです。
+となります。これは元々静力学の原理であった'''仮想仕事の原理'''のダランベールの原理(動力学)への拡張です。注意して欲しいのは、この式は、'''束縛条件の範囲内で取りうる任意の'''仮想変位で成り立つということです。
 解析力学ではこれを一番基本の'''基礎方程式'''とします。

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 ==ラグランジュの運動方程式からオイラーラグランジュの運動方程式へ==
-ここで <math> {\boldsymbol F_a}</math> を保存力 <math>{\boldsymbol F_{\alpha_a}}</math> と 非保存力
+ここまでは、単純に外力をそのまま使ってきましたが、ここで <math> {\boldsymbol F_a}</math> を
-<math>{\boldsymbol F_{\beta_a}}</math> の和に分けてみましょう。保存力とは <math>{\mathrm rot} {\boldsymbol F_{\alpha_a}}={\boldsymbol 0}</math> となる力場のことです。
+保存力 <math>{\boldsymbol F_{\alpha_a}}</math> と 非保存力
 {{eqn|<math> {\boldsymbol F_a}={\boldsymbol F_{\alpha_a}} + {\boldsymbol F_{\beta_a}} \ (a=1, 2, \cdots , N) </math>|23}}