回転行列と複素数の積 - 変更履歴

2015年8月5日 (水) 05:15にNakamuriによる

2015-08-05T05:15:34Z

2015年7月10日 (金) 07:49にNakamuriによる

2015-07-10T07:49:19Z

Nakamuri: /* 複素数の積 */

2015-02-09T21:48:43Z

‎複素数の積

Nakamuri: /* 複素数の積 */

2014-12-28T23:24:34Z

‎複素数の積

Nakamuri: /* 回転行列 */

2014-12-28T23:23:22Z

‎回転行列

Nakamuri: /* 複素数の積 */

2014-12-28T18:23:14Z

‎複素数の積

Nakamuri: /* 複素数の積 */

2014-12-28T18:22:00Z

‎複素数の積

Nakamuri: /* 複素数の積 */

2014-12-28T18:19:40Z

‎複素数の積

Nakamuri: /* 複素数の積 */

2014-12-28T18:18:55Z

‎複素数の積

Nakamuri: /* 複素数の積 */

2014-12-28T18:17:11Z

‎複素数の積

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 [[Category:数学]][[Category:線形代数]][[category:回転]]
-[[メインページ]]&gt;[[数学の部屋]]
+[[メインページ]]&gt;[[数学の部屋#回転]]
 初歩的な話で申し訳ありませんが、他の説明で使いたいので、ここではベクトルと複素数と2次元回転の関係の話を書き留めておきます。

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 [[Category:数学]][[Category:線形代数]][[category:回転]]
-[[メインページ]]&gt;[[数学の部屋]]&gt;[[回転]]
+[[メインページ]]&gt;[[数学の部屋]]
 初歩的な話で申し訳ありませんが、他の説明で使いたいので、ここではベクトルと複素数と2次元回転の関係の話を書き留めておきます。

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−	{{eqn\|<math> c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)</math>\|14}}}	+	{{eqn\|<math> c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)</math>\|14}}

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 複素数 <math>c1</math>、<math>c2</math> をその大きさ　<math>r_1</math>、 <math>r_2</math> と偏角<math>\alpha</math>、<math>\beta</math> で表すと
 {{eqn|<math> c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha</math>、　<math> c_2 = r_2\cos\beta + \mathrm{i}\cdot r_2\sin\beta</math>|13}}
 となります。ここで複素数の積 <math>c_1c_2</math>を計算してみましょう。
 {{eqn|<math> c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)</math>|14}}}
 この式に角度の加法定理を当てはめると
 {{eqn|<math> c_1c_2=r_1r_2\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2\sin(\alpha+\beta)
 = r_1r_2(\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot\sin(\alpha+\beta))</math>|15}}
 以上から、複素数の掛け算とは、大きさを掛け、偏角を足す計算であることがわかります。

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 {{eqn|<math> x' = r\cos(\alpha+\beta)</math>|3}}
 {{eqn|<math> y' = r\sin(\alpha+\beta)</math>|4}}
 (3)と(4)は[[角度の加法定理]]をあてはめると
 {{eqn|<math> x' = r\cos\alpha\cos\beta-r\sin\alpha\sin\beta</math>|5}}
 {{eqn|<math> y' = r\sin\alpha\cos\beta+r\cos\alpha\sin\beta</math>|6}}
 これに、(1)と(2)を使うと
 {{eqn|<math> x' = \cos\beta\cdot x-\sin\beta\cdot y</math>|7}}
 {{eqn|<math> y' = x\sin\beta\cdot x + \cos\beta\cdot y</math>|8}}
 これを行列を使って書き直せば
 {{eqn|<math> \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right) =
 \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -sin\beta \\ \sin\beta& \ cos\beta \end{array}\right)
 \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right)</math>|9}}
 これが2次元の回転行列と呼ばれるもので、<math>{\boldsymbol r} = \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) </math>　を角度βだけ回転させ、<math>{\boldsymbol r'} = \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right)</math> に変換します。
 この回転行列を2個掛け合わせたらどうなるのでしょうか？
 {{eqn|<math>
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 \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta& \cos\beta \end{array}\right)
 </math>|10}}
 この行列はβの回転とαの回転を順次行うわけですから、α+βだけの回転になるはずで、これを回転行列で表現すると
 {{eqn|<math>
 \left( \begin{array} {cc} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta)& \cos(\alpha+\beta) \end{array}\right)
 </math>|11}}
 となるはずです。(10) と (11) は一致するはずですが、(10) を計算すると
 {{eqn|<math>
@@ 60行: / 72行: @@
 \end{array}\right)
 </math>|12}}
 となり、(10)と(11)の関係は[[角度の加法定理]]と一致しています。

@@ 72行: / 72行: @@
 複素数 <math>c1</math>、<math>c2</math> をその大きさ　<math>r_1</math>、 <math>r_2</math> と偏角<math>\alpha</math>、<math>\beta</math> で表すと
-{{eqn|<math> c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha \label{c1} </math>|13}}
+{{eqn|<math> c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha</math>|13}}
-<math> c_2 = r_2\cos\beta + \mathrm{i}\cdot r_2\sin\beta \label{c2} </math>
 となります。ここで複素数の積 <math>c_1c_2</math>を計算してみましょう。