美しいローレンツ変換 - 変更履歴

Nakamuri: /* そもそも双曲線関数とは */

2021-06-11T11:24:21Z

‎そもそも双曲線関数とは

Nakamuri: /* 目盛りの大きさ */

2020-06-29T14:31:33Z

‎目盛りの大きさ

Nakamuri: /* ローレンツ変換 */

2018-11-21T03:52:40Z

‎ローレンツ変換

Nakamuri: /* 目盛りの大きさ */

2017-02-11T16:40:40Z

‎目盛りの大きさ

2016年11月9日 (水) 13:00にNakamuriによる

2016-11-09T13:00:16Z

Nakamuri: /* 目盛りの大きさ */

2016-03-29T00:49:15Z

‎目盛りの大きさ

Nakamuri: /* ー次変換としてのローレンツ変換 */

2016-03-29T00:41:23Z

‎ー次変換としてのローレンツ変換

Nakamuri: /* ー次変換としてのローレンツ変換 */

2016-03-29T00:39:26Z

‎ー次変換としてのローレンツ変換

Nakamuri: /* 目盛りの大きさ */

2016-03-15T11:09:57Z

‎目盛りの大きさ

Nakamuri: /* 目盛りの大きさ */

2016-03-12T23:54:06Z

‎目盛りの大きさ

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 図の斜線の部分は双曲線と、原点と双曲線上の点 <math>(\cosh u, \sinh u)</math> を結んだ線分と、x軸 で囲まれた領域ですが、実はこの領域の面積の2倍が u なのです。証明してみましょう。
-この領域の面積は <math>x = \sqrt{y^2+1} </math> 　を　  <math>x=0\sim\sinh u</math> の範囲で積分して、上の三角形部分の面積を引けばよいので
+この領域の面積は <math>x = \sqrt{y^2+1} </math> 　を　  <math>y=0\sim\sinh u</math> の範囲で積分して、上の三角形部分の面積を引けばよいので
 {{eqn|<math>S=\int^{\sinh u}_0 \sqrt{1+y^2}dy - \frac{\sinh u\cosh u}{2}</math>|11}}

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 点 O' から C' までの経路は、 <math>t'x'</math> 座標系では静止している物体の世界線です。
-C'が線分BCより右( <math>t=\cosh\alpha=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} > 0</math> )になることから、<math>t'x'</math> 座標系で静止している物体に取り付けられている時計は、<math>tx</math> 座標系から見ると遅く見えることがわかります。これが有名な「運動する物体の時間は遅くなる」ということの正体です。
+C'が線分BCより右( <math>t=\cosh\alpha=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} > 1</math> )になることから、<math>t'x'</math> 座標系で静止している物体に取り付けられている時計は、<math>tx</math> 座標系から見ると遅く見えることがわかります。これが有名な「運動する物体の時間は遅くなる」ということの正体です。
 逆を考えてみましょう。OCは<math>tx</math> 座標系で静止している物体の世界線です。この線と 線分B'C'を延長した線と交わる点 D では <math>t'x'</math> 座標系では時刻が <math>1 m</math> になります。

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 相対性理論ではおなじみの座標系の設定ですが、
-両座標系とも慣性系で、それぞれの座標系の時刻 <math>t</math> と <math>t'</math> が <math>t=t'=0</math> の時、2つの座標系の原点が
+両座標系とも慣性系で、それぞれの座標系の原点での時刻 <math>t</math> と <math>t'</math> が <math>t=t'=0</math> の時、2つの座標系の原点が
 一致する(重なる)ものとします。

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 つまり、<math>tx</math> 座標系で静止している棒は <math>t'x'</math> 座標系からは短くみえるわけで、やはり運動している棒は短くなります。
-このように、系の中で静止している棒がもう一つの系から見ると短く見えるのは、ガレージのパラドックスとして有名ですが、同じ2セットの世界線を異なる時間軸を使って、測定した結果であること、言い方を変えると、線分ABとEB'が交差していることが原因であることが、この時空図からよくわかると思います。従ってパラドックスは存在しません。
+このように、系の中で静止している棒がもう一つの系から見ると短く見えるのは、ガレージのパラドックスとして有名ですが、異なる2セットの世界線を異なる時間軸を使って、測定した結果であること、言い方を変えると、線分ABとEB'が交差していることが原因であることが、この時空図からよくわかると思います。従ってパラドックスは存在しません。
 OD, OE の長さ、OA'の長さ(=OC'の長さ), OF の長さがわかりましたので、最後に B' の位置を求めておきましょう。

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 C'が線分BCより右( <math>t=\cosh\alpha=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} > 0</math> )になることから、<math>t'x'</math> 座標系で静止している物体に取り付けられている時計は、<math>tx</math> 座標系から見ると遅く見えることがわかります。これが有名な「運動する物体の時間は遅くなる」ということの正体です。
-逆を考えてみましょう。OCは<math>tx</math> 座標系で静止している物体の世界線です。この線と 点C'から O'A'に平行に引いた直線と交わる点 D は <math>t'x'</math> 座標系では時刻が <math>1 m</math> になります。
+逆を考えてみましょう。OCは<math>tx</math> 座標系で静止している物体の世界線です。この線と 線分B'C'を延長した線と交わる点 D では <math>t'x'</math> 座標系では時刻が <math>1 m</math> になります。
 点Dの<math>tx</math> 座標系での <math>t</math> の値(ODの長さ )は、

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−	以下の図にはローレンツ変換前(双曲変換前、水色)~~の図形とローレンツ変換後~~(双曲変換後、黒)の図形を	+	以下の図にはローレンツ変換前(双曲変換前、水色)の図形(格子)と、それのローレンツ変換後(双曲変換後、黒)の図形を
	示してあります。2個の座標系の相対速度は光速の20%です。見事に歪んでいることがわかるでしょう。		示してあります。2個の座標系の相対速度は光速の20%です。見事に歪んでいることがわかるでしょう。

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−	以下の図にはローレンツ変換前(双曲変換前、水色)の図形とローレンツ変換後(~~双曲返還後、黒~~)の図形を	+	以下の図にはローレンツ変換前(双曲変換前、水色)の図形とローレンツ変換後(双曲変換後、黒)の図形を
	示してあります。2個の座標系の相対速度は光速の20%です。見事に歪んでいることがわかるでしょう。		示してあります。2個の座標系の相対速度は光速の20%です。見事に歪んでいることがわかるでしょう。

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 逆を考えてみましょう。OCは<math>tx</math> 座標系で静止している物体の世界線です。この線と 点C'から O'A'に平行に引いた直線と交わる点 D は <math>t'x'</math> 座標系では時刻が <math>1 m</math> になります。
-点Dの<math>tx</math> 座標系での <math>t</math> の値は、
+点Dの<math>tx</math> 座標系での <math>t</math> の値(ODの長さ )は、
-{{eqn|ODの長さ <math>=\cosh\alpha - \sinh\alpha\tanh\alpha = \frac{\cosh^2\alpha-\sinh^2\alpha}{\cosh\alpha}=\frac{1}{\cosh\alpha} = \sqrt{1-v^2}< 1</math>|21}}
+{{eqn|<math>\begin{array} {ll}\cosh\alpha - \sinh\alpha\tanh\alpha &= \frac{\cosh^2\alpha-\sinh^2\alpha}{\cosh\alpha} \\
 つまり、<math>tx</math> 座標系で静止している物体の時計は、やはり<math>t'x'</math> 座標系から見ると遅く見えるのです。

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 つまり、<math>tx</math> 座標系で静止している物体の時計は、やはり<math>t'x'</math> 座標系から見ると遅く見えるのです。
-よくこの、互いに相手の時計が遅くなることが矛盾であるという議論を見かけますが、実際には、異なる世界線を測定した結果であり、図の線分OCとB'Dが交差していることが原因で、矛盾はないことがこの時空図からよくわかると思います。
+よくこの、互いに相手の時計が遅くなることが矛盾であるという議論を見かけますが、実際には、異なる世界線を測定した結果であり、図の線分BCとB'Dが交差していることが原因で、矛盾はないことがこの時空図からよくわかると思います。
 そもそもローレンツ変換は単純な一次変換であり、<math>t'x'</math> 座標系の座標点と<math>tx</math> 座標系の座標点との間には1対1の対応があるため、矛盾が発生しようがないのです。