2次元の内積の幾何学的な性質 - 変更履歴

2015年8月5日 (水) 05:15にNakamuriによる

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−	2次元の内積の定義は簡単です。<math>{\boldsymbol a}=(a_1. a_2) </math>、<math>{\boldsymbol b}=(b_1. b_2) </math> とすると内積は	+	2次元の内積の定義は簡単です。<math>{\boldsymbol a}=(a_1, a_2) </math>、<math>{\boldsymbol b}=(b_1, b_2) </math> とすると内積は

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 次元の内積の定義は簡単です。<math>{\boldsymbol a}=(a_1. a_2) </math>、<math>{\boldsymbol b}=(b_1. b_2) </math> とすると内積は
 {{eqn|<math>
 	{\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}=a_1b_1+a_2b_2
 </math>|1}}
 この単純な定義からは信じられないことですが、内積には非常に美しい幾何学的な性質があります。
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 <math>{\boldsymbol a} = (r_a\cos\alpha, r_a\sin\alpha)</math>、<math>{\boldsymbol b} =
 (r_b\cos\beta, r_b\sin\beta)</math> となります。従って内積は
 {{eqn|<math>
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 	r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)
 </math>|2}}
 となります。どこかで見た形ですよね？ そう、角度の加法定理です。'''[[角度の加法定理]]'''で
 紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は
 {{eqn|<math>
 	{\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha)
 </math>|3}}
 という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる <math>\beta-\alpha</math> はベクトル <math>\boldsymbol a</math> と <math>\boldsymbol b</math> がなす角度です。

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 	r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)
 </math>|2}}
 となります。どこかで見た形ですよね？ そう、角度の加法定理です。'''[[角度の加法定理]]'''で