3次元の内積の幾何学的な性質 - 変更履歴

2015年8月5日 (水) 05:15にNakamuriによる

2015-08-05T05:15:57Z

2015-07-10T07:49:50Z

2015-01-23T13:15:41Z

‎2次元の回転と2次元の内積

2014-12-30T17:34:12Z

‎3次元の内積

2014-12-29T00:53:03Z

‎３次元の内積

2014-12-29T00:51:29Z

‎３次元の内積

2014-12-29T00:50:16Z

‎３次元の内積

2014-12-29T00:48:35Z

‎3次元の回転

2014-12-29T00:46:33Z

‎3次元の回転

2014-12-29T00:42:28Z

‎2次元の回転と2次元の内積

@@ 1行: / 1行: @@
 [[Category:数学]][[Category:線形代数]][[category:回転]]
-[[メインページ]]&gt;[[数学の部屋]]
+[[メインページ]]&gt;[[数学の部屋#回転]]
 ==3次元の内積==

@@ 1行: / 1行: @@
 [[Category:数学]][[Category:線形代数]][[category:回転]]
-[[メインページ]]&gt;[[数学の部屋]]&gt;[[回転]]
+[[メインページ]]&gt;[[数学の部屋]]
 ==3次元の内積==

←前の版		2015年1月23日 (金) 13:15時点における版
88行:		88行:


−	{{eqn\|<math>\begin{align}{\boldsymbol a'} - {\boldsymbol b'}\|^2 &= ({\boldsymbol a'}-{\boldsymbol b'})({\boldsymbol a'}-{\boldsymbol b'}) = {\boldsymbol a'}^2 + {\boldsymbol b'}^2 - 2{\boldsymbol a'}\cdot{\boldsymbol b'} \\ &= {\boldsymbol a}^2 + {\boldsymbol b}^2 - 2{\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b}\end{align}</math>\|8}}	+	{{eqn\|<math>\begin{align}\|{\boldsymbol a'} - {\boldsymbol b'}\|^2 &= ({\boldsymbol a'}-{\boldsymbol b'})({\boldsymbol a'}-{\boldsymbol b'}) = {\boldsymbol a'}^2 + {\boldsymbol b'}^2 - 2{\boldsymbol a'}\cdot{\boldsymbol b'} \\ &= {\boldsymbol a}^2 + {\boldsymbol b}^2 - 2{\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b}\end{align}</math>\|8}}

@@ 16行: / 16行: @@
 次元の内積は、2次元の内積の自然の拡張で、2つのベクトル <math>{\boldsymbol a}, {\boldsymbol b}</math> のデカルト座標での成分表示を
 <math>{\boldsymbol a} = (a_1, a_2, a_3), {\boldsymbol b} = (b_1, b_2, b_3)</math> とすると
 {{eqn|<math>
    {\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
 </math>|1}}
 と定義されますが、
 ベクトル <math>{\boldsymbol a}</math>、 <math>{\boldsymbol b}</math>それぞれ長さを　<math>r_a</math>、<math>r_b</math> 、２つのベクトルのなす角度を <math>\beta </math> とすると、2次元の内積の結果をそのまま拡張すれば
 {{eqn|<math>
    {\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 = r_ar_b\cos\beta
 </math>|2}}
 となりそうです。事実そうなるのですが、本当でしょうか？　証明してみましょう。

@@ 245行: / 245行: @@
 従って、２次元の内積の幾何学的な性質はそのまま３次元の内積でも成り立ち、ベクトル<math>{\boldsymbol a},{\boldsymbol b}</math>の長さを <math>r_a</math>、<math>r_b</math>、ベクトル<math>{\boldsymbol a},{\boldsymbol b}</math> 同士のなす角度を <math>\beta</math> とすると
-<math>{\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b} = r_ar_b\cos\beta</math>
+{{eqn|<math>{\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b} = r_ar_b\cos\beta</math>|14}}
 が成立します。以上で２次元の内積は３次元へ自然な形で拡張できることを示しました。

@@ 243行: / 243行: @@
 *3次元の3軸による回転は内積を変更しない。つまり、２次元回転の場合と同様、図形を合同に変換し、辺の長さや辺のなす角度を変更しない。
-従って、２次元の内積の幾何学的な性質はそのまま３次元の内積でも成り立ち、ベクトル<math>{\boldsymbol a}、{\boldsymbol b}</math>の長さを <math>r_a</math>、<math>r_b</math>、ベクトル<math>{\boldsymbol a}、{\boldsymbol b}</math> 同士のなす角度を <math>\beta</math> とすると
+従って、２次元の内積の幾何学的な性質はそのまま３次元の内積でも成り立ち、ベクトル<math>{\boldsymbol a},{\boldsymbol b}</math>の長さを <math>r_a</math>、<math>r_b</math>、ベクトル<math>{\boldsymbol a},{\boldsymbol b}</math> 同士のなす角度を <math>\beta</math> とすると
 <math>{\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b} = r_ar_b\cos\beta\label{lastCrossProduct} </math>
 が成立します。以上で２次元の内積は３次元へ自然な形で拡張できることを示しました。

←前の版		2014年12月29日 (月) 00:48時点における版
162行:		162行:
	\right)</math> の内積は		\right)</math> の内積は

−	{{eqn\|<math>{\boldsymbol a'}\cdot {\boldsymbol b'}=a'_1b'_1+a'_2b'_2+a'_3b'_3}</math>\|11}}	+	{{eqn\|<math>{\boldsymbol a'}\cdot {\boldsymbol b'}=a'_1b'_1+a'_2b'_2+a'_3b'_3</math>\|11}}

@@ 162行: / 162行: @@
 \right)</math> の内積は
-<math>{\boldsymbol a'}\cdot {\boldsymbol b'}=a'_1b'_1+a'_2b'_2+a'_3b'_3 \label{3DCrossProduct2} </math>
+{{eqn|<math>{\boldsymbol a'}\cdot {\boldsymbol b'}=a'_1b'_1+a'_2b'_2+a'_3b'_3}</math>|11}}
@@ 171行: / 171行: @@
 同様に、<math>x</math>軸を回転軸とし、<math>x</math>軸の正方向に対して右回転する回転変換は
-<math>
+{{eqn|<math>
 \left(\begin{array}{ccc}
 x' \\
@@ 192行: / 192行: @@
+z
 \end{array} \right)
-\label{xrotation}
+</math>|12}}
-−
 </math>
 <math>y</math>軸を回転軸とし、<math>y</math>軸の正方向に対して右回転する回転変換は
-<math>
+{{eqn|<math>
 \left(\begin{array}{ccc}
 x' \\
@@ 219行: / 217行: @@
+z
 \end{array} \right)
-\label{yrotation}
+</math>|13}}
-−
-−
 </math>
 となります。いずれの回転も内積を変化させないのはいうまでもないでしょう。

@@ 63行: / 63行: @@
 {{eqn|<math>\begin{align}
 {\boldsymbol a'}\cdot{\boldsymbol b'} &=
-(a_1\cos\beta-a_2\sin\beta)(b_1\cos\beta-b_2\sin\beta)+ \\ &
+(a_1\cos\beta-a_2\sin\beta)(b_1\cos\beta-b_2\sin\beta)+ \\
-(a_1\sin\beta+a_2\cos\beta)(b_1\sin\beta+b_2\cos\beta) \\ &=
+&(a_1\sin\beta+a_2\cos\beta)(b_1\sin\beta+b_2\cos\beta) \\ &=
 a_1b_1+a_2b_2\end{align}</math>|6}}