「指定方向のローレンツ変換」の版間の差分

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==準備==
 
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まず座標系ですが、 <math>txyz</math> 座標系と <math>t'x'y'z'</math> 座標系の2個を用意します。
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まず座標系ですが、 <math>txyz</math> 座標系と <math>t'x'y'z'</math> 座標系の2個の慣性系を用意します。
 
<math>t</math> と <math>t'</math> が時間軸、 <math>xyz</math> と  <math>x'y'z'</math> が
 
<math>t</math> と <math>t'</math> が時間軸、 <math>xyz</math> と  <math>x'y'z'</math> が
 
空間軸です。
 
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<math>xyz</math> 座標系と <math>x'y'z'</math> 座標系は通常原点は一致しませんが、
 
<math>xyz</math> 座標系と <math>x'y'z'</math> 座標系は通常原点は一致しませんが、
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<math>t=t'=0</math> の時、 <math>xyz</math>  座標系と <math>x'y'z'</math>   
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座標系の原点が重なるとします。
 
座標系の原点が重なるとします。
  
 
つまり、<math>txyz</math>  座標系と <math>t'x'y'z'</math> 座標系の原点は重なるのです。
 
つまり、<math>txyz</math>  座標系と <math>t'x'y'z'</math> 座標系の原点は重なるのです。
  
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<math>t'x'y'z'</math> の原点の <math>txyz</math> 座標系での速度を  
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<math>v = \left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right) </math> とします。
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<math>{\boldsymbol v} = \left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right) </math> とします。
  
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なお、座標系の単位は幾何学座標系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。
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なお、座標系の単位は幾何学単位系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。
  
 
==x軸方向のローレンツ変換==
 
==x軸方向のローレンツ変換==
  
 
[[美しいローレンツ変換]] で紹介したローレンツ変換は   
 
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<math>v=\left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)=
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\left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)  </math> のケースで、
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\left( \begin{array} {c} v \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)  </math> のケースで、
 
4次元でちゃんと書くと
 
4次元でちゃんと書くと
  
 
{{eqn|<math>
 
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となります。これを任意方向の <math>v</math> に拡張してみましょう。
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となります。これを任意方向の <math>{\boldsymbol v}</math> に拡張してみましょう。
  
 
==<math>v</math> の方向が任意のローレンツ変換==
 
==<math>v</math> の方向が任意のローレンツ変換==
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<math>{\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) </math>  
 
<math>{\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) </math>  
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、<math>v</math> の方向ベクトルを <math>{\boldsymbol u}=\left(  
 
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\begin{array} {c}  
 
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\frac{v_x}{|{\boldsymbol v}|} \\  
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t=\cosh\alpha t'+\sinh\alpha({\boldsymbol u}\cdot {\boldsymbol r'})
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位置は <math>{\boldsymbol v}</math> 方向のみローレンツ短縮が起きるので
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<math>{\boldsymbol v}</math> 方向のみローレンツ短縮が起きるので、<math>x'y'z'</math>座標系は
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<math>xyz</math>座標系から見ると<math>{\boldsymbol v}</math> 方向に縮んで見えることから
  
 
   
 
   
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これを行列に直すと、<math>\lambda = \cosh\alpha-1</math> とすれば
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これを行列に直すと、<math>\lambda = \cosh\alpha-1</math> 、
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<math>{\boldsymbol E}_3</math> を 3x3 の単位行列とすると
  
 
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\left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) =
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\begin{array} {ll}
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\left( \begin{array} {cccc}  
 
\left( \begin{array} {cccc}  
  
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\cosh\alpha & \sinh\alpha u_x & \sinh\alpha u_y & \sinh\alpha u_z \\  
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\cosh\alpha & \cosh\alpha\ v_x & \cosh\alpha\ v_y & \cosh\alpha\ v_z \\  
  
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\sinh\alpha u_x & \lambda u_x^2+1 & \lambda u_xu_y & \lambda u_xu_z \\
+
\cosh\alpha\ v_x & \lambda u_x^2+1 & \lambda u_xu_y & \lambda u_xu_z \\
 
   
 
   
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\sinh\alpha u_y & \lambda u_yu_x & \lambda u_y^2+1 & \lambda u_yu_z \\
+
\cosh\alpha\ v_y & \lambda u_yu_x & \lambda u_y^2+1 & \lambda u_yu_z \\
  
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\sinh\alpha u_z & \lambda u_zu_x & \lambda u_zu_y & \lambda u_z^2+1  
+
\cosh\alpha\ v_z & \lambda u_zu_x & \lambda u_zu_y & \lambda u_z^2+1  
 +
 
 +
\end{array}\right)
 +
 
 +
\left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) \\
 +
 
 +
&=\left( \begin{array} {cccc}
 +
 
 +
\cosh\alpha & \cosh\alpha\  {}^t\!{\boldsymbol v}  \\
 +
 
 +
\cosh\alpha\ {\boldsymbol v} & (\cosh\alpha-1) {\boldsymbol u}{}^t\!{\boldsymbol u} +{\boldsymbol E}_3
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\end{array}\right)
 
\end{array}\right)
  
 
\left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right)
 
\left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right)
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<math>{\boldsymbol u}=\left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) </math> に
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すると、式(4)は式(1)に一致するので正しそうです。

2020年2月7日 (金) 09:10時点における最新版

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ローレンツ変換は、空間1次元、時間1次元の2次元時空で扱うことが多いですが、 空間3次元、時間一次元の4次元時空ではどうなるかを探って見ました。

準備

まず座標系ですが、 txyz 座標系と t'x'y'z' 座標系の2個の慣性系を用意します。 t と t' が時間軸、 xyz と x'y'z' が 空間軸です。

xyz 座標系と x'y'z' 座標系は通常原点は一致しませんが、 t=t'=0 の時、 xyz 座標系と x'y'z' 座標系の原点が重なるとします。

つまり、txyz 座標系と t'x'y'z' 座標系の原点は重なるのです。

x'y'z' の原点の xyz 座標系での速度を {\boldsymbol v} = \left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right) とします。

なお、座標系の単位は幾何学単位系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。

x軸方向のローレンツ変換

美しいローレンツ変換 で紹介したローレンツ変換は {\boldsymbol v}=\left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)= \left( \begin{array} {c} v \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) のケースで、 4次元でちゃんと書くと

\tanh\alpha=|{\boldsymbol v}|, \left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cccc} \cosh\alpha & v\cosh\alpha & 0 & 0 \\ v\cosh\alpha & \cosh\alpha & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) ( 1 )

となります。これを任意方向の {\boldsymbol v} に拡張してみましょう。

v の方向が任意のローレンツ変換

時刻の同時性のずれは、 v方向の位置成分に比例するので、

{\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) 、v の方向ベクトルを {\boldsymbol u}=\left( \begin{array} {c} \frac{v_x}{|{\boldsymbol v}|} \\ \frac{v_y}{|{\boldsymbol v}|} \\ \frac{v_z}{|{\boldsymbol v}|} \end{array}\right) とすると

t=\cosh\alpha\ t'+\cosh\alpha\ ({\boldsymbol v}\cdot {\boldsymbol r'}) ( 2 )

{\boldsymbol v} 方向のみローレンツ短縮が起きるので、x'y'z'座標系は xyz座標系から見ると{\boldsymbol v} 方向に縮んで見えることから


位置 {\boldsymbol r'} の v 方向成分が ({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u}、 位置の v に対して垂直な成分が {\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} であることを考慮すると、 {\boldsymbol r}=\left( \begin{array} {c} x \\ y \\ z \end{array}\right) は

{\boldsymbol r}=\cosh\alpha\ {\boldsymbol v}t' + {\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} + \cosh\alpha\ ({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} ( 3 )

これを行列に直すと、\lambda = \cosh\alpha-1 、 {\boldsymbol E}_3 を 3x3 の単位行列とすると

\begin{array} {ll} \left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) &= \left( \begin{array} {cccc} \cosh\alpha & \cosh\alpha\ v_x & \cosh\alpha\ v_y & \cosh\alpha\ v_z \\ \cosh\alpha\ v_x & \lambda u_x^2+1 & \lambda u_xu_y & \lambda u_xu_z \\ \cosh\alpha\ v_y & \lambda u_yu_x & \lambda u_y^2+1 & \lambda u_yu_z \\ \cosh\alpha\ v_z & \lambda u_zu_x & \lambda u_zu_y & \lambda u_z^2+1 \end{array}\right) \left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) \\ &=\left( \begin{array} {cccc} \cosh\alpha & \cosh\alpha\ {}^t\!{\boldsymbol v} \\ \cosh\alpha\ {\boldsymbol v} & (\cosh\alpha-1) {\boldsymbol u}{}^t\!{\boldsymbol u} +{\boldsymbol E}_3 \end{array}\right) \left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) \end{array} ( 4 )

{\boldsymbol u}=\left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) に すると、式(4)は式(1)に一致するので正しそうです。

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