「指定方向のローレンツ変換」の版間の差分

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<math>xyz</math>座標系から見ると<math>{\boldsymbol v}</math> 方向に縮んで見えることから
  
 
   
 
   

2020年2月7日 (金) 09:10時点における最新版

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ローレンツ変換は、空間1次元、時間1次元の2次元時空で扱うことが多いですが、 空間3次元、時間一次元の4次元時空ではどうなるかを探って見ました。

準備

まず座標系ですが、 txyz 座標系と t'x'y'z' 座標系の2個の慣性系を用意します。 t と t' が時間軸、 xyz と x'y'z' が 空間軸です。

xyz 座標系と x'y'z' 座標系は通常原点は一致しませんが、 t=t'=0 の時、 xyz 座標系と x'y'z' 座標系の原点が重なるとします。

つまり、txyz 座標系と t'x'y'z' 座標系の原点は重なるのです。

x'y'z' の原点の xyz 座標系での速度を {\boldsymbol v} = \left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right) とします。

なお、座標系の単位は幾何学単位系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。

x軸方向のローレンツ変換

美しいローレンツ変換 で紹介したローレンツ変換は {\boldsymbol v}=\left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)= \left( \begin{array} {c} v \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) のケースで、 4次元でちゃんと書くと

\tanh\alpha=|{\boldsymbol v}|, \left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cccc} \cosh\alpha & v\cosh\alpha & 0 & 0 \\ v\cosh\alpha & \cosh\alpha & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) ( 1 )

となります。これを任意方向の {\boldsymbol v} に拡張してみましょう。

v の方向が任意のローレンツ変換

時刻の同時性のずれは、 v方向の位置成分に比例するので、

{\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) 、v の方向ベクトルを {\boldsymbol u}=\left( \begin{array} {c} \frac{v_x}{|{\boldsymbol v}|} \\ \frac{v_y}{|{\boldsymbol v}|} \\ \frac{v_z}{|{\boldsymbol v}|} \end{array}\right) とすると

t=\cosh\alpha\ t'+\cosh\alpha\ ({\boldsymbol v}\cdot {\boldsymbol r'}) ( 2 )

{\boldsymbol v} 方向のみローレンツ短縮が起きるので、x'y'z'座標系は xyz座標系から見ると{\boldsymbol v} 方向に縮んで見えることから


位置 {\boldsymbol r'} の v 方向成分が ({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u}、 位置の v に対して垂直な成分が {\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} であることを考慮すると、 {\boldsymbol r}=\left( \begin{array} {c} x \\ y \\ z \end{array}\right) は

{\boldsymbol r}=\cosh\alpha\ {\boldsymbol v}t' + {\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} + \cosh\alpha\ ({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} ( 3 )

これを行列に直すと、\lambda = \cosh\alpha-1 、 {\boldsymbol E}_3 を 3x3 の単位行列とすると

\begin{array} {ll} \left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) &= \left( \begin{array} {cccc} \cosh\alpha & \cosh\alpha\ v_x & \cosh\alpha\ v_y & \cosh\alpha\ v_z \\ \cosh\alpha\ v_x & \lambda u_x^2+1 & \lambda u_xu_y & \lambda u_xu_z \\ \cosh\alpha\ v_y & \lambda u_yu_x & \lambda u_y^2+1 & \lambda u_yu_z \\ \cosh\alpha\ v_z & \lambda u_zu_x & \lambda u_zu_y & \lambda u_z^2+1 \end{array}\right) \left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) \\ &=\left( \begin{array} {cccc} \cosh\alpha & \cosh\alpha\ {}^t\!{\boldsymbol v} \\ \cosh\alpha\ {\boldsymbol v} & (\cosh\alpha-1) {\boldsymbol u}{}^t\!{\boldsymbol u} +{\boldsymbol E}_3 \end{array}\right) \left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) \end{array} ( 4 )

{\boldsymbol u}=\left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) に すると、式(4)は式(1)に一致するので正しそうです。

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