「オイラー角」の版間の差分

2015年8月5日 (水) 05:25時点における最新版

座標の回転を表現する方法には様々な方法がありますが、座標軸を3回回転させるオイラー角が最もポピュラーな方法です。オイラー角には、回す座標軸の順番によって12種類のバリエーションがあります。飛行機の姿勢を示すのに用いられ、z, y, x軸の順に座標軸を回転させるヨー・ピッチ・ロールは非常に有名ですが(航空業界で用いられているものは、角度の符号が異なります)、ここでは物理で剛体の回転の説明などで使われる Z-Y-Z オイラー角を説明します。

物理や数学で、Z-Y-Z オイラー角が用いられる理由の一つとしてあげられるのは、Z軸の倒し方が、3次元極座標のやり方と一致している点でしょう。

図中の方向ベクトル ${\boldsymbol e_1}$ , ${\boldsymbol e_2}$ , ${\boldsymbol e_3}$ は、座標系の回転を行う前の座標系 xyz座標系の、x, y, z軸の方向ベクトルです。

Z-Y-Z オイラー角では、まず、z軸( ${\boldsymbol e_3}$ )を軸の正方向に対して右に $\phi$ だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが ${\boldsymbol e^{'}_1}$ , ${\boldsymbol e^{'}_2}$ , ${\boldsymbol e^{'}_3}$ です。

Z-Y-Z オイラー角では、次に、Y'軸( ${\boldsymbol e^{'}_2}$ )を軸の正方向に対して右に $\theta$ だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが ${\boldsymbol e^{''}_1}$ , ${\boldsymbol e^{''}_2}$ , ${\boldsymbol e^{''}_3}$ です。

これで、Z''軸( ${\boldsymbol e^{''}_3}$ )の向きが定まります。Z''軸の向きは、xyz座標系において、 $\phi$ と $\theta$ で表される極座標のベクトルの向きと一致しています。

Z-Y-Z オイラー角では、最後に、Z''軸( ${\boldsymbol e^{''}_3}$ )を軸の正方向に対して右に $\psi$ だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが ${\boldsymbol e^{'''}_1}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_2}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_3}$ です。

この ${\boldsymbol e^{'''}_1}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_2}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_3}$ がオイラー角による回転後の座標系の座標軸の方向ベクトルです。

この回転で、元の座標軸の方向ベクトル ${\boldsymbol e_1}$ , ${\boldsymbol e_2}$ , ${\boldsymbol e_3}$ を回転後の座標系の座標軸の方向ベクトル ${\boldsymbol e^{'''}_1}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_2}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_3}$ へ移す行列は

\begin{array}{lll} R_{euler}(\phi, \theta, \psi) = R^{(z)}(\psi) R^{(Y)}(\theta) R^{(z)}(\phi) \\ = \left( \begin{array} {ccc} \cos\psi & \sin\psi & 0 \\ -\sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \left( \begin{array} {ccc} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \\ \end{array}\right) \left( \begin{array} {ccc} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ = \left( \begin{array} {ccc} \cos\phi\cos\theta\cos\psi-\sin\phi\sin\psi & \sin\phi\cos\theta\cos\psi+cos\phi\sin\psi & -\sin\theta\cos\psi \\ -cos\phi\cos\theta\sin\psi-\sin\phi\cos\psi & -\sin\phi\cos\theta\sin\psi+\cos\phi\cos\psi & \sin\theta\sin\psi \\ \cos\phi\sin\theta & \sin\phi\sin\theta & \cos\theta \end{array}\right) \end{array}

( 1 )

{\boldsymbol e^{'''}_i}=\sum_{j=1}^3R_{euler}(\phi, \theta, \psi)_{ij}{\boldsymbol e_j}

( 2 )

になります( $R_{euler}(\phi, \theta, \psi)_{ij}$ は $R_{euler}(\phi, \theta, \psi)$ の $i$ 行 $j$ 列の要素)。

座標系 ${\boldsymbol e^{'''}_1}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_2}$ , ${\boldsymbol e^{'''}_3}$ でのベクトル ${\boldsymbol A}$ の成分 $\left( \begin{array} {c} A^{'''}_1 \\ A^{'''}_2 \\ A^{'''}_3\end{array}\right)$ を座標系 ${\boldsymbol e_1}$ , ${\boldsymbol e_2}$ , ${\boldsymbol e_3}$ の成分 $\left( \begin{array} {c} A_1 \\ A_2 \\ A_3\end{array}\right)$ へ変換する式は、 $R_{euler}(\phi, \theta, \psi)$ の逆行列(=転置)を使って

\left( \begin{array} {c} A_1 \\ A_2 \\ A_3\end{array}\right) = {}^t\!R_{euler}(\phi, \theta, \psi) \left( \begin{array} {c} A^{'''}_1 \\ A^{'''}_2 \\ A^{'''}_3\end{array}\right)

( 3 )

となります。

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 座標の回転を表現する方法には様々な方法がありますが、座標軸を3回回転させるオイラー角が最もポピュラーな方法です。
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 図中の方向ベクトル<math>{\boldsymbol e_1}</math>, <math>{\boldsymbol e_2}</math>, <math>{\boldsymbol e_3}</math>は、座標系の回転を行う前の座標系 xyz座標系の、x, y, z軸の方向ベクトルです。
-Z-Y-Z オイラー角では、まず、z軸(<math>{\boldsymbol e_3}</math>)を正方向に対して右に <math>\phi</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{'}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'}_3}</math>です。
-Z-Y-Z オイラー角では、次に、Y'軸(<math>{\boldsymbol e^{'}_2}</math>)を正方向に対して右に <math>\theta</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{''}_3}</math>です。
+Z-Y-Z オイラー角では、まず、z軸(<math>{\boldsymbol e_3}</math>)を軸の正方向に対して右に <math>\phi</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{'}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'}_3}</math>です。
+Z-Y-Z オイラー角では、次に、Y'軸(<math>{\boldsymbol e^{'}_2}</math>)を軸の正方向に対して右に <math>\theta</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{''}_3}</math>です。
 これで、<nowiki>Z''軸</nowiki>(<math>{\boldsymbol e^{''}_3}</math>)の向きが定まります。<nowiki>Z''軸</nowiki>の向きは、xyz座標系において、<math>\phi</math>と<math>\theta</math>で表される極座標のベクトルの向きと一致しています。
-Z-Y-Z オイラー角では、最後に、<nowiki>Z''軸</nowiki>(<math>{\boldsymbol e^{''}_2}</math>)を正方向に対して右に <math>\psi</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>です。
+Z-Y-Z オイラー角では、最後に、<nowiki>Z''軸</nowiki>(<math>{\boldsymbol e^{''}_3}</math>)を軸の正方向に対して右に <math>\psi</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>です。
 この<math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>がオイラー角による回転後の座標系の座標軸の方向ベクトルです。
 この回転で、元の座標軸の方向ベクトル<math>{\boldsymbol e_1}</math>, <math>{\boldsymbol e_2}</math>, <math>{\boldsymbol e_3}</math>を回転後の座標系の座標軸の方向ベクトル<math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>へ移す行列は
 {{eqn|<math>
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 </math>|1}}
-になります。
+{{eqn|<math>{\boldsymbol e^{'''}_i}=\sum_{j=1}^3R_{euler}(\phi, \theta, \psi)_{ij}{\boldsymbol e_j}</math>|2}}
+になります(<math>R_{euler}(\phi, \theta, \psi)_{ij}</math>は<math>R_{euler}(\phi, \theta, \psi)</math>の<math>i</math>行<math>j</math>列の要素)。
+座標系 <math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math> でのベクトル<math>{\boldsymbol A}</math>の成分<math>\left( \begin{array} {c} A^{'''}_1 \\ A^{'''}_2 \\ A^{'''}_3\end{array}\right)</math>を
+座標系 <math>{\boldsymbol e_1}</math>, <math>{\boldsymbol e_2}</math>, <math>{\boldsymbol e_3}</math>の成分<math>\left( \begin{array} {c} A_1 \\ A_2 \\ A_3\end{array}\right)</math>へ変換する式は、<math>R_{euler}(\phi, \theta, \psi)</math>の逆行列(=転置)を使って
+{{eqn|<math>
+\left( \begin{array} {c} A_1 \\ A_2 \\ A_3\end{array}\right) =
+{}^t\!R_{euler}(\phi, \theta, \psi)
+\left( \begin{array} {c} A^{'''}_1 \\ A^{'''}_2 \\ A^{'''}_3\end{array}\right)
+</math>|3}}
+となります。

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