「複素数の表し方」の版間の差分

2017年8月8日 (火) 13:12時点における版

ここまで、複素数を2次元ベクトルだと強調したかったので、ベクトル表現で解説を進めてきましたがそろそろ正しい表現に切り替えましょう。

正しい表現といっても、巷の複素数の表し方には大きく2種類、細かくは3種類あります。

1. 数学や物理で最も広く使われているあらわしかた

(a, b) = a+bi

$i$ は悪名高き虚数で、b がベクトルの2番目の値であることを表しています。

2. 数学や物理で最も広く使われているあらわしかたのちょっと変形

(a, b) = a+ib

虚数 $i$ が $b$ の前に来ただけですが、たまに見かけます。

3. 電気工学ではこれ

(a, b) = a+jb

電気工学では小文字の $i$ が電流を意味するのでこうなったようです。

ここでは 1 の表し方を採用します。

この書き方を採用すると、 $i^2=-1$ であることを利用すると、複素数の掛算と割算の定義式を覚えなくてよくなります。何故かというと

\begin{array} {ll} (a+bi)(c+di) &= ac + bdi^2 + adi+bci \\ &= (ac-bd) + (ad+bc)i \end{array}

\begin{array} {ll} \frac{a+bi}{c+di} &= \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} \\ &= \frac{(ac-bdi^2+bci-adi)}{c^2-d^2i^2} \\ &= \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i \end{array}

と今まで紹介してきた分配法則と $i^2=-1$ を使えば機械的に導けるからです。

ほら、やっぱり怪しげな計算を使っているじゃないかと言われるかもしれませんが、元は怪しげなものの、これは定義式だと考えて出自は無視しましょう。複素数の乗算の除算には魔法のような不思議な能力があるので、そんなことはどうでもよいのです(^^;

@@ 50行: / 50行: @@
    \frac{a+bi}{c+di} &= \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} \\
                  &= \frac{(ac-bdi^2+bci-adi)}{c^2-d^2i^2} \\
-                 &= \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc+ad}{c^2+d^2}i
+                 &= \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i
 \end{array}
 </math>}}