「オイラー角」の版間の差分
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Z-Y-Z オイラー角では、次に、Y'軸(<math>{\boldsymbol e^{'}_2}</math>)を正方向に対して右に <math>\theta</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{''}_3}</math>です。 | Z-Y-Z オイラー角では、次に、Y'軸(<math>{\boldsymbol e^{'}_2}</math>)を正方向に対して右に <math>\theta</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{''}_3}</math>です。 | ||
| − | + | これで、<nowiki>Z''軸</nowiki>(<math>{\boldsymbol e^{''}_3}</math>)の向きが定まります。<nowiki>Z''軸</nowiki>の向きは、xyz座標系において、<math>\phi</math>と<math>\theta</math>で表される極座標のベクトルの向きと一致しています。 | |
| − | Z-Y-Z | + | Z-Y-Z オイラー角では、最後に、<nowiki>Z''軸</nowik8>(<math>{\boldsymbol e^{''}_2}</math>)を正方向に対して右に <math>\psi</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>です。 |
この<math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>がオイラー角による回転後の座標系の座標軸の方向ベクトルです。 | この<math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>がオイラー角による回転後の座標系の座標軸の方向ベクトルです。 | ||
2015年6月13日 (土) 01:00時点における版
座標の回転を表現する方法には様々な方法がありますが、座標軸を3回回転させるオイラー角が最もポピュラーな方法です。 オイラー角には、回す座標軸の順番によって12種類のバリエーションがあります。飛行機の姿勢を示すのに用いられ、z, y, x軸の順に座標軸を回転させるヨー・ピッチ・ロールは非常に有名ですが、ここでは物理で剛体の回転の説明などで使われる Z-Y-Z オイラー角を説明します。
物理や数学で、Z-Y-Z オイラー角が用いられる理由の一つとしてあげられるのは、Z軸の倒し方が、3次元極座標のやり方と一致している点でしょう。
図中の方向ベクトル
, 
, 
は、座標系の回転を行う前の座標系 xyz座標系の、x, y, z軸の方向ベクトルです。
Z-Y-Z オイラー角では、まず、z軸()を正方向に対して右に 
だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが 
, 
, 
です。
Z-Y-Z オイラー角では、次に、Y'軸()を正方向に対して右に 
だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが 
, 
, 
です。
これで、Z''軸()の向きが定まります。Z''軸の向きは、xyz座標系において、とで表される極座標のベクトルの向きと一致しています。
Z-Y-Z オイラー角では、最後に、Z''軸</nowik8>(<math>{\boldsymbol e^{''}_2}</math>)を正方向に対して右に <math>\psi</math>だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが <math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>です。 この<math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>がオイラー角による回転後の座標系の座標軸の方向ベクトルです。 この回転で、元の座標軸の方向ベクトル<math>{\boldsymbol e_1}</math>, <math>{\boldsymbol e_2}</math>, <math>{\boldsymbol e_3}</math>を回転後の座標系の座標軸の方向ベクトル<math>{\boldsymbol e^{'''}_1}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_2}</math>, <math>{\boldsymbol e^{'''}_3}</math>へ移す行列は {{eqn|<math> \begin{array}{lll} R_{euler}(\phi, \theta, \psi) = R^{(z)}(\psi) R^{(Y)}(\theta) R^{(z)}(\phi) \\ = \left( \begin{array} {ccc} \cos\psi & \sin\psi & 0 \\ -\sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \left( \begin{array} {ccc} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \\ \end{array}\right) \left( \begin{array} {ccc} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ = \left( \begin{array} {ccc} \cos\phi\cos\theta\cos\psi-\sin\phi\sin\psi & \sin\phi\cos\theta\cos\psi+cos\phi\sin\psi & -\sin\theta\cos\psi \\ -cos\phi\cos\theta\sin\psi-\sin\phi\cos\psi & -\sin\phi\cos\theta\sin\psi+\cos\phi\cos\psi & \sin\theta\sin\psi \\ \cos\phi\sin\theta & \sin\phi\sin\theta & \cos\theta \end{array}\right) \end{array} </math>|1}} になります。
