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2016年7月13日 (水) 06:00時点における版

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目次

1 はじめに
2 幾何単位系の特徴
3 幾何学単位系の詳細

はじめに

物理や我々の生活の中で使われる単位系はSI単位系(MKSA単位系)が普通ですが、SI単位系は人間がその生活の中で決めた単位を含んでおり、物理学に本来不要な換算係数を持ち込むという欠点があります。

ここで紹介する幾何学単位系は、相対性理論の成果を取り込み、相対性理論の式を非常に単純化する単位系です。

幾何単位系の特徴

幾何学単位系の特徴は、何といっても単位に m(メートル) しか出てこないことです。なんと、時間も質量も運動量もエネルギーも単位は m になり、他の単位も全て m を使って記述されます。

幾何学単位系の詳細

幾何学単位系は重力定数、光速、クーロンの法則の係数 $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ が無次元の 1 に( $\varepsilon_0=\frac{1}{4\pi}$ に)なるように工夫された単位系です。

$\varepsilon_0=1$ とする流儀もありますが、それは随時補足します。

幾何学単位系では単位の中に基本単位として距離の単位である m(メートル) しか出てきません。

ここでは、単位の次元を表す際、習慣に従って距離の単位 m は L と表記することとします。

記号 $c$ はSI単位で表した光速 $299,792,458 m/s$

記号 $G$ はSI単位で表した重力定数 $6.673 \times 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}$

記号 $\varepsilon_0$ はSI単位で表した真空の誘電率 $8.85418782\times10^{-12}m^{-3}kg^{-1}s^4A^2$

を表すこととします。

長さ

SI と同じ m で表されます。何も変わりません。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$1$	$1$	$L$

時間

相対性理論の成果を取り入れ、時間と長さは同じ単位になるべきものと考えます。

幾何単位系では 1秒は、その時間での光の飛行距離、つまり $299,792,458$ m とします。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$c=2.998\times10^8$	$\frac{1}{c}=3.336\times10^{-9}$	$L$

質量

一般相対性理論の成果より、SI単位系での質量とシュバルツシルト半径との関係はSI単位系では

r_g = \frac{2GM}{c^2}

　

この式をそのまま幾何学単位系でも採用し、c=G=1 とすると

\frac{r_g}{2} = M

　

従って、質量はシュバルツシルト半径の半分になります。

シュバルツシルト半径ではなく、その半分と定義していることに注意!

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{G}{c^2}=7.425\times10^{-28}$	$\frac{c^2}{G}=1.347\times10^{27}$	$L$

速度

時間の単位が m になったので、時間は $c$ 倍になり、速度は $\frac{1}{c}$ 倍になります。

つまり速度は無次元量になり、光速との比になります。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{1}{c}=3.386\times10^{-9}$	$c=2.998\times10^8$	無

加速度

時間の単位が m になったので、時間は $c$ 倍になり、加速度は $\frac{1}{c^2}$ 倍になります。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{1}{c^2}=1.113\times10^{-17}$	$c^2=8.988\times10^{16}$	$L^{-1}$

力

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$ は幾何学単位系では $G=1$ なので $F=\frac{m_1m_2}{r^2}$ になりますが、質量と長さがともに単位が m になるので力は無次元量になります。

質量は $\frac{G}{c^2}$ 倍になることを考慮すると、力は $\frac{G}{c^4}$ 倍になります。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{G}{c^4}=8.261\times10^{-45}$	$\frac{c^4}{G}=1.210\times10^{44}$	無

電荷

SI単位系でのクーロンの法則は $F=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{q_1q_2}{r^2}$ は幾何学単位系では $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=1$ なので $F=\frac{1}{\varepsilon_r}\frac{q_1q_2}{r^2}$ になりますが、力が無次元量なので電荷の単位は m になります。

力が $\frac{G}{c^4}$ 倍になり、 $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=1$ 　になることを考慮すると、電荷は $\frac{\sqrt{G}} {c^2 \sqrt{4\pi\varepsilon_0}}$ 倍になります。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{\sqrt{G}} {c^2 \sqrt{4\pi\varepsilon_0}}=8.617\times10^{-18}$	$\frac{c^2 \sqrt{4\pi\varepsilon_0}} {\sqrt{G}}=1.161\times10^{17}$	$L$

$\varepsilon_0=1$ の流儀では

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{\sqrt{G}} {c^2 \sqrt{\varepsilon_0}}=3.055\times10^{-17}$	$\frac{c^2 \sqrt{\varepsilon_0}} {\sqrt{G}}=3.274\times10^{16}$	$L$

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相対性理論