「ラグランジュの運動方程式の導出」の版間の差分

2015年6月21日 (日) 18:01時点における版

はじめに

この記事では、ラグランジュの運動方程式を導出の仕方を解説します。

ラグランジュの運動方程式は、系の運動エネルギーと系に加わる力から、系の運動を導き出す運動方程式です。系の挙動が運動エネルギーと力に集約して描けるのが特徴で、力とたった一つのスカラー関数で系の運動のすべてを記述する美しい方程式です。系の状態からエネルギーを算出する式が得られれば、機械的に、かつ座標系に依存せず、系の微分方程式を組み立てることができる優れものの手法です。

この記事では、系を互いに影響しあう質点の集合体と捉え、より一般的な一般座標を使い、ニュートンの運動方程式を、座標系に依存しない形のラグランジュの運動方程式に変換し、ラグランジュの運動方程式が、ニュートン力学と同等であることを示します。

一般化座標

系には N個の質点からできているとします。各質点のデカルト座標は ${\boldsymbol r_a} (a = 1, 2, \cdots N)$ 、質量は $m_a$ としましょう。

すると、1個のデカルト座標は3個の座標値を持つので $3N$ 個の座標値があるわけです。これを $3N$ 個の自由度を持つといいます。

現実の系では、例えば、2個の質点はロープで繋がっていて距離は一定になっているとか、ある質点は特定の溝に沿って運動しなければならないとか、様々な条件の中で動きます。これを束縛条件といいます。

$h$ 個の束縛条件が存在すると、自由度は $n=3N -h$ 個に減少します。これは全ての質点の座標を $n$ 個の独立変数で表せることを意味します。つまり、束縛の時間的な変動も考慮すると、質点の座標は

{\boldsymbol r_a} = {\boldsymbol r_a}(q_1, q_2, \cdots, q_n, t) \ (a=1, 2, \cdots , N)

( 1 )

と表せます。この独立変数 $q_1, q_2, \cdots, q_n$ を一般化座標といいます。

ダランベールの原理と仮想仕事の原理

系の各質点にかかる力を　 ${\boldsymbol F_{m_a}}$ とすると、ニュートンの運動方程式は

m_a\ddot{{\boldsymbol r_a}}={\boldsymbol F_{m_a}}

( 2 )

となります。

ここで、仮想変位なるものを使います。仮想変位とはもともと静力学の概念で、時間の経過を伴わない、質点の実際の運動とは関係のない任意の変位です。つまり、静力学では、力が釣り合っているのか判断するため、ちょっと仮に動かしてみて、エネルギーが吸収されたり放出されたりしないことを確認します。この仮想変位を $\delta{\boldsymbol r_a}$ と表記することにしましょう。

ニュートンの運動方程式を力と「慣性力」の釣り合いと考え

{\boldsymbol F_{m_a}}-m_a\ddot{{\boldsymbol r_a}}=0

( 3 )

とします。これがダランベールの原理ですが、式(3)と「仮想変位」 $\delta{\boldsymbol r_a}$ との内積を取り、全質点の総和を取ると

\sum_a({\boldsymbol F_{m_a}} - m_a\ddot{{\boldsymbol r_a}})\cdot\delta{\boldsymbol r_a} = 0

( 4 )

となります。これを仮想仕事の原理と呼び、解析力学ではこれを一番基本の基礎方程式とします。「仮想変位」 $\delta{\boldsymbol r_a}$ の3N個の座標値がそれぞれが完全に独立ならば式(4)は式(2)と同値ですが、仮想変位 $\delta{\boldsymbol r_a}$ が後述する束縛条件に従う場合、式(4)は式(2)より条件が甘くなっています。このように条件を甘くしてもちゃんと解けるのは不思議ですが、束縛条件がきつい分式(3)が甘くなるので、辻褄はあっているようです。厳密なニュートン力学との等価性の証明は残念ながら私の手には余ります。

束縛条件と束縛力

質点の座標の自由度を下げる働きをした「束縛」は質点の座標の取る値を制限します。

束縛には、ホロノーム型と非ホロノーム型の2種類がありますが、ここではホロノーム型の束縛のみを扱います。

ホロノーム型の束縛とは、

G_l({\boldsymbol r_1}, {\boldsymbol r_2}, \cdots, {\boldsymbol r_N}, t)=0\ (l = 1, 2, \cdots h)

( 5 )

という形にかける束縛のことです。例えば、球が坂を転がり落ちる場合、球は坂に沿って転がるように束縛されます。この時坂から球は、坂に沿って動くように垂直抗力を受けます。

もし、物体が電車のように決まった軌道に沿って動くなら、物体は軌道(レールのようなもの)から車輪にやはり垂直抗力を受けます。この、系を束縛条件に沿って運動させる力を束縛力といいます。

ベクトルを使って物体を扱うニュートン力学では、この束縛力を見積もるのがなかなか大変で、計算が困難なのですが、解析力学では、束縛力をうまく無視することができます。

例えば、剛体の運動は、本当は剛体の形を保つための原子/分子間に働く無数の束縛力を扱わなければならず、無限に等しい個数の運動方程式を解かなければなりません。しかし、解析力学では、束縛力を直接扱わずに式を立てられるため、運動方程式が非常に単純化します。

ニュートンの運動方程式を、束縛力も含めて考えてみましょう。質点にかかる力 ${\boldsymbol F_{m_a}}$ を2つの力 ${\boldsymbol F_a} + {\boldsymbol C_a}$ に分けて

m_a\ddot{{\boldsymbol r_a}}={\boldsymbol F_a} + {\boldsymbol C_a}

( 6 )

${\boldsymbol F_a}$ が外力で系の外から加わる力、 ${\boldsymbol C_a}$ が束縛力で系の運動を束縛に合わせる力です。束縛力は必ずしも内カではなく外カの場合もあります。(例: 振り子を支えるカ)

ここで、束縛力とは何なのか、そもそもどのように定義できるのかを考えてみましょう。

式を仮想仕事の原理の形に書き換えると

\sum_am_a\ddot{{\boldsymbol r_a}}\cdot\delta{\boldsymbol r_a} = \sum_a({\boldsymbol F_a} + {\boldsymbol C_a})\cdot\delta{\boldsymbol r_a}

( 7 )

となりますが、多くの教科書では慣性力と力の釣り合いを強調して

\sum_a({\boldsymbol F_a} + {\boldsymbol C_a} - m_a\ddot{{\boldsymbol r_a}}\cdot)\delta{\boldsymbol r_a}=0

( 8 )

と書くことが多いです。

多くの教科書に書いてあるように、質点間の関係がホロノーム型になるような束縛は仕事をしません。例えば垂直抗力は変位の方向と力が垂直ですし、ロープの張力はロープの両端で張力によるエネルギーの得失が発生して正味０になります。しかしこのことは、より一般的な、式(5)に従うことで発生する一般的な束縛力でも成り立つのでしょうか？　そもそも束縛条件から束縛力はどのように決まるのでしょうか？

束縛条件式2の関数 $G_l$ は常にゼロですから、仮想変位に対する変化量も当然ゼロです。 $\delta r_{a, i}$ が質点 $a$ の仮想変位の各軸(i=1⇒x座標, i=2⇒y座標, i=3⇒z座標) の成分を表すとすると、仮想変位に対する $G_l$ の変化量は以下の式であらわされます。

\sum_{a, i}\frac{\partial G_l}{\partial r_{a, i}}\delta r_{a, i}=0 \ (i=1,2,3 \ \ l=1, \cdots , h)

( 9 )

これは、 $\frac{\partial G_l}{\partial r_{a, i}}$ を要素とする3N次元の多次元ベクトル ${\boldsymbol G_l}$ と、 $r_{a, i}$ を要素とする3N次元の多次元ベクトル $\delta{\boldsymbol R}$ の内積と考えることができます。

つまり、仮想変位 $\delta{\boldsymbol R}$ は ${\boldsymbol G_l}$ 方向への多次元ベクトル成分を含みませんから、質点に加わる力のうち、 ${\boldsymbol G_l} \ \ (l=1, \cdots, h)$ 方向の成分だけを取り出せば、その力は仕事をしません。これを束縛力( ${\boldsymbol C_a}$ )と定義してやれば、束縛力は必然的に仕事をしないことになります。

以上の定義から、束縛力は仮想変位 $\delta{\boldsymbol r_a}$ に対して仕事をしませんから

\sum_a {\boldsymbol C_a}\cdot\delta{\boldsymbol r_a} = 0

( 10 )

が成立つはずです。式(1)の関係を使って式(10)を展開すると

\sum_r \left ( \sum_a {\boldsymbol C_a}\cdot \frac{\partial {\boldsymbol r_a}}{\partial q_r} \right )\delta q_r = 0\ (r=1,2,\cdots, n)

( 11 )

$\delta q_r$ は束縛の影響を受けず、完全に独立ですから、任意の $\delta q_r$ で式(11)が成り立つことを考えると、カッコの内側は常に 0 になるので

\sum_a {\boldsymbol C_a}\cdot \frac{\partial {\boldsymbol r_a}}{\partial q_r} = 0

( 12 )

ということになります。従って、ニュートンの運動方程式は、 $\frac{\partial {\boldsymbol r_a}}{\partial q_r}$ を掛けて全質点の総和を取ると

\sum_a m_a\ddot{{\boldsymbol r_a}}\cdot\frac{\partial {\boldsymbol r_a}}{\partial q_r}= \sum_a {\boldsymbol F_a}\cdot\frac{\partial {\boldsymbol r_a}}{\partial q_r} + \sum_a {\boldsymbol C_a}\cdot\frac{\partial {\boldsymbol r_a}}{\partial q_r}= \sum_a {\boldsymbol F_a}\cdot\frac{\partial {\boldsymbol r_a}}{\partial q_r}

( 13 )

となり、式の中から束縛力が消えてしまうことが分かります。

2つの公式の証明

ニュートンの運動方程式からラグランジュの運動方程式へ

@@ 29行: / 29行: @@
 と表せます。この独立変数 <math>q_1, q_2, \cdots, q_n</math>を一般化座標といいます。
-==ダランベールの原理==
+==ダランベールの原理と仮想仕事の原理==
 系の各質点にかかる力を　<math>{\boldsymbol F_{m_a}}</math>とすると、ニュートンの運動方程式は