オイラー角
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座標の回転を表現する方法には様々な方法がありますが、座標軸を3回回転させるオイラー角が最もポピュラーな方法です。 オイラー角には、回す座標軸の順番によって12種類のバリエーションがあります。飛行機の姿勢を示すのに用いられ、z, y, x軸の順に座標軸を回転させるヨー・ピッチ・ロールは非常に有名ですが(航空業界で用いられているものは、角度の符号が異なります)、ここでは物理で剛体の回転の説明などで使われる Z-Y-Z オイラー角を説明します。
物理や数学で、Z-Y-Z オイラー角が用いられる理由の一つとしてあげられるのは、Z軸の倒し方が、3次元極座標のやり方と一致している点でしょう。
図中の方向ベクトル, , は、座標系の回転を行う前の座標系 xyz座標系の、x, y, z軸の方向ベクトルです。
Z-Y-Z オイラー角では、まず、z軸()を正方向に対して右に だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが , , です。
Z-Y-Z オイラー角では、次に、Y'軸()を正方向に対して右に だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが , , です。
これで、Z''軸()の向きが定まります。Z''軸の向きは、xyz座標系において、とで表される極座標のベクトルの向きと一致しています。
Z-Y-Z オイラー角では、最後に、Z''軸()を正方向に対して右に だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが , , です。
この, , がオイラー角による回転後の座標系の座標軸の方向ベクトルです。
この回転で、元の座標軸の方向ベクトル, , を回転後の座標系の座標軸の方向ベクトル, , へ移す行列は
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になります。