幾何学単位系

はじめに

物理や我々の生活の中で使われる単位系は、今や SI単位系(MKSA単位系)が普通ですが、SI単位系は人間がその生活の中で決めた単位を含んでおり、 物理学に本来不要な換算係数を持ち込むという欠点があります。

ここで紹介する幾何学単位系は、相対性理論の成果を取り込み、相対性理論の式を非常に単純化する単位系です。

幾何単位系の特徴

幾何学単位系の特徴は、何といっても単位に m(メートル) しか出てこないことです。なんと、時間も質量も運動量もエネルギーも単位は m になり、他の単位も全て m で記述されます。

幾何学単位系の詳細

幾何学単位系は 重力定数、光速、クーロンの法則の係数 $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$が 無次元の 1 になるように工夫された単位系です。

幾何単位系では単位の中に 基本単位として距離の単位である m(メートル) しか出てきません。

ここでは、単位の次元を表す際、距離の単位 m は L と表記することとします。

また、記号 c はSI単位で表した光速を表し $299,792,458 m/s$, 記号 G はSI単位で表した重力定数 $6.673 \times 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}$を表すこととします。

長さ

SI と同じ m で表されます。何も変わりません。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$1$	$1$	$L$

時間

相対性理論の成果を取り入れ、時間と長さは同じ単位になるべきものと考えます。

幾何単位系では 1秒は、その時間での光の飛行距離、つまり $299,792,458$ m とします。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$c$	$\frac{1}{c}$	$L$

質量

一般相対性理論の成果より、SI単位系での質量とシュバルツシルト半径との関係は

$r_g = \frac{2GM}{c^2}$

この式をそのまま幾何学単位系でも採用し、c=G=1 とすると

$\frac{r_g}{2} = M$

従って、質量はシュバルツシルト半径の半分になります。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{G}{c^2}$	$\frac{c^2}{G}$	$L$

速度

時間の単位が m になったので、時間は $c$ 倍になり、速度は $\frac{1}{c}$倍になります。

つまり速度は無次元量になり、光速との比になります。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{1}{c}$	$c$	無

加速度

時間の単位が m になったので、時間は $c$ 倍になり、加速度は $\frac{1}{c^2}$倍になります。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{1}{c^2}$	$c^2$	$L^{-1}$

力

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$ は幾何学単位系では $G=1$ なので $F=\frac{m_1m_2}{r^2}$ になりますが、質量と長さがともに単位が m になるので力は無次元量になります。

質量は $\frac{G}{c^2}$ 倍になることを考慮すると、力は $\frac{G}{c^4}$ 倍 になります。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{G}{c^4}$	$\frac{c^4}{G}$	無