オイラー角

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座標の回転を表現する方法には様々な方法がありますが、座標軸を3回回転させるオイラー角が最もポピュラーな方法です。 オイラー角には、回す座標軸の順番によって12種類のバリエーションがあります。飛行機の姿勢を示すのに用いられ、z, y, x軸の順に座標軸を回転させるヨー・ピッチ・ロールが非常に有名ですが、ここでは物理で剛体の回転の説明などでよく持ちいられる Z-Y-Z オイラー角を説明します。

物理や数学で、Z-Y-Z オイラー角が用いられる理由の一つとしてあげられるのは、Z軸の倒し方が、3次元極座標のやり方と一致している点でしょう。

図中の方向ベクトル${\boldsymbol e_1}$, ${\boldsymbol e_2}$, ${\boldsymbol e_3}$は、座標系の回転を行う前の座標系 xyz座標系の、x, y, z軸の方向ベクトルです。

Z-Y-Z オイラー角では、まず、z軸(${\boldsymbol e_3}$)を正方向に対して右に $\phi$だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが ${\boldsymbol e^{'}_1}$, ${\boldsymbol e^{'}_2}$, ${\boldsymbol e^{'}_3}$です。

Z-Y-Z オイラー角では、次に、Y'軸(${\boldsymbol e^{'}_2}$)を正方向に対して右に $\theta$だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが ${\boldsymbol e^{''}_1}$, ${\boldsymbol e^{''}_2}$, ${\boldsymbol e^{''}_3}$です。

これで、Z軸(${\boldsymbol e^{''}_3}$)の向きが定まります。Z軸の向きは、xyz座標系において、$\phi$と$\theta$で表される極座標のベクトルの向きと一致しています。

Z-Y-Z オイラー角では、最後に、Z軸(${\boldsymbol e^{''}_2}$)を正方向に対して右に $\psi$だけ回します。こうして得られた新しい座標系の座標軸の方向ベクトルが ${\boldsymbol e^{'''}_1}$, ${\boldsymbol e^{'''}_2}$, ${\boldsymbol e^{'''}_3}$です。

この${\boldsymbol e^{'''}_1}$, ${\boldsymbol e^{'''}_2}$, ${\boldsymbol e^{'''}_3}$がオイラー角による回転後の座標系の座標軸の方向ベクトルです。

この回転で、元の座標軸の方向ベクトル${\boldsymbol e_1}$, ${\boldsymbol e_2}$, ${\boldsymbol e_3}$を回転後の座標系の座標軸の方向ベクトル${\boldsymbol e^{'''}_1}$, ${\boldsymbol e^{'''}_2}$, ${\boldsymbol e^{'''}_3}$へ移す行列は

構文解析に失敗 (不明な関数「\begin」): \begin{align*} R_{euler}(\phi, \theta, \psi) = R^{(z)}(\psi) R^{(Y)}(\theta) R^{(z)}(\phi) \\ = \left( \begin{array} {ccc} \cos\psi & \sin\psi & 0 \\ -\sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \left( \begin{array} {ccc} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \\ \end{array}\right) \left( \begin{array} {ccc} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ = \left( \begin{array} {ccc} \cos\phi\cos\theta\cos\psi-\sin\phi\sin\psi & \sin\phi\cos\theta\cos\psi+cos\phi\sin\psi & -\sin\theta\cos\psi \\ -cos\phi\cos\theta\sin\psi-\sin\phi\cos\psi & -\sin\phi\cos\theta\sin\psi+\cos\phi\cos\psi & \sin\theta\sin\psi \\ \cos\phi\sin\theta & \sin\phi\sin\theta & \cos\theta \end{array}\right) \end{align}

( 1 )

になります。