美しいローレンツ変換

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相対性理論のローレンツ変換は、なんかゴチャゴチャしていてめんどくさそうと感じておられる方も多いと思います。 この点に関して、実はキャンベルの「時空の幾何学」という相対性理論の解説書の中で、その美しさが詳細に述べられていたのですが、 残念ながら邦訳は何故か絶版になってしまいました。

そこで、この記事では、このローレンツ変換の秘められた美しさについて若干の説明を試みてみたいと思います。

ローレンツ変換

下図は、特殊相対性理論を説明するための図です。この図には $xyz$と$x'y'z'$の二つの座標系が示されています。

相対性理論ではおなじみの座標系の設定ですが、

両座標系とも慣性系で、それぞれの座標系の時刻 $t$ と $t'$ が $t=t'=0$ の時、2つの座標系の原点が 一致する(重なる)ものとします。

また、座標軸 $x$ と座標軸 $x'$ 、座標軸 $y$ と座標軸 $y'$ 、座標軸 $z$ と座標軸 $z'$ はそれぞれ同じ向きとし、$x'y'z'$ 座標系は $xyz$ 座標系の対し、$x$ 軸方向に速度 $v$ で運動しているものとします。

この二つの座標系では、相対性理論でおなじみのローレンツ変換の関係が成り立ちます。 $c$ は光速とすると

$\left( \begin{array} {cc}t\\ x \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} & \frac{\frac{v}{c^2}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \\ \frac{v}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} t'\\ x' \end{array}\right), y=y', z=z'$

( 1 )

確かになんかごちゃごちゃしています。真ん中へんにある行列は対称行列でもないし、回転行列のような単純な美しさもありません。 いったいどこが美しいのでしょうか？

ではこれから、ローレンツ変換行列の中に隠された美しさを見てゆきましょう。

座標をちょっといじってみる

ここで、時刻を表すのに、単位が秒の $t$ や　 $t'$ の代わりに、これらに光速をかけた、つまり単位をメートルにした値を時刻に採用します。つまり、時刻の単位を秒ではなく、メートルに変換するのです。

すると、ローレンツ変換は

$\left( \begin{array} {cc} ct\\ x \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} & \frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \\ \frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} ct'\\ x' \end{array}\right)$

( 2 )

となります。なんと変換行列が対称行列になってしまいました。最初に比べて美しさが少し増しています。 このことは、時刻が本質的にメートルで表されるべきことを暗示していますが、先に進みましょう。

双曲線関数を使ってみる

式がより簡単になるように、速度 $v$ と光速 $c$ の比を $V = \frac{v}{c}$ と表すことにすると、

$\left( \begin{array} {cc} ct\\ x \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} & \frac{V}{\sqrt{1-V^2}} \\ \frac{V}{\sqrt{1-V^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} ct'\\ x' \end{array}\right)$

( 3 )

ここで、 $\tanh \alpha = V$ とすると、

$\tanh \alpha = \frac{\sinh\alpha}{\cosh\alpha}$

( 4 )

$\cosh^2\alpha - \sinh^2\alpha = 1$

( 5 )

$\frac{1}{\sqrt{1-V^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\sinh^2\alpha}{\cosh^2\alpha}}}= \frac{1}{\sqrt{\frac{\cosh^2\alpha-\sinh^2\alpha}{\cosh^2\alpha}}}=\cosh\alpha$

( 6 )

ですから

$\left( \begin{array} {cc} ct\\ x \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \cosh \alpha & \sinh \alpha \\ \sinh \alpha & \cosh \alpha \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} ct'\\ x' \end{array}\right)$

( 7 )

なんと、まるで回転行列のようなとても単純で覚えやすくて美しい行列になってしまいました。

実はこの行列は双曲回転の回転行列で、つまりローレンツ変換というのは時空座標の双曲回転なのです。

以下に双曲線回転の回転行列がどのようなものかを説明します。

そもそも双曲線関数とは

そもそも双曲線関数とは何なのでしょうか？

双曲線関数で表すことのできる座標値、$(\cosh u, \sinh u)$ とは双曲線

$x^2-y^2=1$

( 8 )

上の点です(但しここでは $x>0$ )。これは公式(5)からも明らかでしょう。それでは　$(\cosh u, \sinh u)$ の中の $u$ とは何なのでしょうか？

下の図を見てください。

図1 双曲角

図の斜線の部分は双曲線と、原点と双曲線上の点 $(\cosh u, \sinh u)$ を結んだ線分と、x軸 で囲まれた領域ですが、実はこの領域の面積の2倍が u なのです。証明してみましょう。

この領域の面積は $x = \sqrt{y^2+1}$ 　を　 $x=0\sim\sinh u$ の範囲で積分して、上の三角形部分の面積を引けばよいので

$S=\int^{\sinh u}_0 \sqrt{1+y^2}dy - \frac{\sinh u\cosh u}{2}$

( 9 )

積分は $\sinh s = y$ という変数変換を行うと

$\int^{\sinh u}_0 \sqrt{1+y^2}dy=\int^{u}_0 \cosh^2sds=\frac{1}{2}\sinh u\cosh u + \frac{1}{2}u$

( 10 )

なので、結局

$S=\frac{u}{2}$

( 11 )

となります。この面積の2倍( $u$ )のことを「双曲角」といいます。

尚、ここまで単純に「面積」と書いてきましたが、斜線部分がX軸より下なら、双曲角はマイナスになります。

この双曲角と双曲線関数の関係は、半径1の扇形の中心角(扇形の面積の2倍)と三角関数の関係にそっくりです。

双曲回転

普通の回転は円に沿って点を動かすことですが、双曲回転は双曲線に沿って点を動かします。

下の図を見て下さい。図には双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ が描いて有り、 その上に双曲角が $u$ と $u + \beta$ の点 A, B が描いてあります。 任意の双曲線上の点を双曲線に沿って動かす変換を双曲回転といいます。 どのような変換になるか見てみましょう。

図2 双曲回転

点A の座標は $A=(x, y)=(\cosh u, \sinh u)$ で、点B は $B=(x', y')=(\cosh (u+\beta), \sinh (u+\beta))$ ですが、双曲線関数の角度の和の公式は

$\begin{array}{ll} \cosh(u+\beta)&=e^{u+\beta} + e^{-(u+\beta)} \\ &=\frac{(e^{u}+e^{-u})(e^{\beta}+e^{-\beta}) + (e^{u}-e^{-u})(e^{\beta}-e^{-\beta})}{4}\\ &=\cosh u \cosh\beta + \sinh u \sinh\beta \\ &=x \cosh\beta + y \sinh\beta \end{array}$

( 12 )

$\begin{array}{ll} \sinh(u+\beta)&=e^{u+\beta} - e^{-(u+\beta)} \\ &=\frac{(e^{u}-e^{-u})(e^{\beta}+e^{-\beta}) + (e^{u}+e^{-u})(e^{\beta}-e^{-\beta})}{4}\\ &=\sinh u \cosh\beta + \cosh u \sinh\beta \\ &=y \cosh\beta + x \sinh\beta \end{array}$

( 13 )

となります。これを整理し、点A($A=(x, y)$ ) を　点B($B=(x', y')$ ) に変換する形にまとめると

$\left( \begin{array} {c} x' \\ y'\end{array}\right) = \left( \begin{array} {c c} \cosh\beta & \sinh\beta \\ \sinh\beta & \cosh\beta \end{array}\right) \left( \begin{array} {c} x \\ y\end{array}\right)$

( 14 )

式の中央にある行列が、既にローレンツ変換にも出てきた双曲回転の回転行列です。

この行列は、双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ 上の点だけではなく、任意の $x^2 - y^2 = a^2$ という形式の双曲線上での双曲回転にも使えます。

図には、双曲線 $x^2 - y^2 = 1.5^2$ 上の点Cと点Dが示してありますが、点Cと点Dへの移動は 同じ回転行列で行えます。

さてここまでは、双曲線　$x^2 - y^2 = a^2, x \geq 0$ で話をしてきましたが、双曲回転は座標上の任意の点を回転可能です。しかし、双曲線$x^2 - y^2 = a^2, x \geq 0$ で表せる座標上の点は、全座標平面の4分の一の領域でしかありません。

座標平面の全ての点をカバーするには、2種類の双曲線群　$x^2 - y^2 = a^2$、$x^2 - y^2 = -a^2$ が必要です。 この双方の双曲線で双曲回転は双曲線に沿って点を動かします。

2種類の双曲線で、正の双曲回転が点をどのように動かすかを下図に示します。

図3 全ての象限での双曲回転

正の双曲線回転は、図形を右斜め方向に引き伸ばし、図形を左斜め方向に圧縮することがわかると思います。

円の回転のように図形を合同に移動するのではなく、双曲回転は図形の圧縮と伸長を伴います。

つまり、時空の圧縮と伸長を伴う変換がローレンツ変換なのです。

ー次変換としてのローレンツ変換

さて、ここまでは、ローレンツ変換の美しさを 双曲回転という観点から眺めてきましたが、 ここからは 2×2の行列で行なう単純な一次変換 という観点から眺めて見ましょう。

以下の図はローレンツ変換前(双曲変換前、水色)の図形とローレンツ変換後(双曲返還後、黒)の図形を 示してあります。2個の座標系の相対速度は光速の20%です。見事に歪んでいることがわかるでしょう。

この図は見方を変えれば $txyz$ 時空から見た $t'x'y'z'$時空の姿です。但し y軸,z軸は省略してあります。

図4 $txyz$ 時空から見た $t'x'y'z'$時空の姿

さて、一次変換の性質を語るのに有効な武器は言うまでもなく行列式、固有値と固有べクトルです。 早速計算してみましょう。

ローレンツ変換の行列式は $\cosh^2\alpha-\sinh^2\alpha=1$ ですから、双曲変換よって図形の 形は歪むものの面積は変化しません。

ローレンツ変換の固有値は、固有方程式

$(\cosh\alpha-\lambda)^2-\sinh^2\alpha=1$

( 15 )

を解くと、

$\lambda = \cosh\alpha \pm \cosh\alpha = e^\alpha, e^{-\alpha} = \frac{\sqrt{1+V}}{\sqrt{1-V}}, \frac{\sqrt{1-V}}{\sqrt{1+V}}$

( 15 )

固有ベクトルは

$\left( \begin{array} {c} 1\\ 1 \end{array}\right), \left( \begin{array} {c} 1\\ -1 \end{array}\right)$

( 16 )

つまり、ローレンツ変換は　$\left( \begin{array} {c} 1\\ 1 \end{array}\right)$ 方向へ $e^\alpha=\frac{\sqrt{1+V}}{\sqrt{1-V}}$ 倍だけ図形を引き伸ばし、 $\left( \begin{array} {c} 1\\ -1 \end{array}\right)$ 方向に $e^{-\alpha}=\frac{\sqrt{1-V}}{\sqrt{1+V}}$ 倍だけ図形を伸長する変換であることがわかります( $\alpha > 0$ なら、つまり縮小になる )。

これは上の図の図形の変形の仕方からも明らかでしょう。

また、この2つの固有ベクトルの向きは「光速」を表しています。 固有ベクトルの方向は一次変換によって変化しないので、つまりこれはローレンツ変換によって 光速が光速に変換されることを示しています。

目盛りの大きさ

最後に、

以下鋭意作成中。