「ラグランジュの運動方程式の導出」の版間の差分
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| + | 現実の系では、例えば、2個の質点はロープで繋がっていて距離は一定になっちるとか、ある質点は特定の溝に沿って運動しなければ | ||
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| + | <math>h</math>個の束縛条件が存在すると、自由度は <math>n=3N -h</math>個に減少します。これは全ての質点の座標を <math>n</math>個の独立変数で表せることを意味します。つまり | ||
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| + | {{eqn|<math>{\boldsymbol r_a} = {\boldsymbol r_a}(q_1, q_2, \cdots, q_n, t)</math>| 1}} | ||
==束縛力== | ==束縛力== | ||
2015年6月20日 (土) 08:52時点における版
はじめに
この記事では、ラグランジュの運動方程式を導出の仕方を解説します。
ラグランジュの運動方程式は、系の運動エネルギーと系に加わる力から、系の運動を導き出す運動方程式です。 系の挙動が運動エネルギーと力に集約して描けるのが特徴で、力とたった一つのスカラー関数で系の運動のすべてを記述する美しい方程式です。 系の状態からエネルギーを算出する式が得られれば、機械的に、かつ座標系に依存せず、系の微分方程式を組み立てることができる優れものの手法です。
この記事では、系を互いに影響しあう質点の集合体と捉え、より一般的な一般座標を使い、ニュートンの運動方程式を、座標系に依存しない形のラグランジュの運動方程式に 変換し、ラグランジュの運動方程式が、ニュートン力学と同等であることを示します。
一般化座標
系には N個の質点からできているとします。
各質点のデカルト座標は 
、質量は 
としましょう。
すると、1個のデカルト座標は3個の座標値を持つので 
個の座標値があるわけです。これを個の自由度を持つといいます。
現実の系では、例えば、2個の質点はロープで繋がっていて距離は一定になっちるとか、ある質点は特定の溝に沿って運動しなければ ならないとか、様々な条件の中で動きます。これを束縛条件といいます。
個の束縛条件が存在すると、自由度は 
個に減少します。これは全ての質点の座標を 
個の独立変数で表せることを意味します。つまり
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