「ラグランジュの運動方程式の導出」の版間の差分
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2015年6月20日 (土) 09:08時点における版
はじめに
この記事では、ラグランジュの運動方程式を導出の仕方を解説します。
ラグランジュの運動方程式は、系の運動エネルギーと系に加わる力から、系の運動を導き出す運動方程式です。 系の挙動が運動エネルギーと力に集約して描けるのが特徴で、力とたった一つのスカラー関数で系の運動のすべてを記述する美しい方程式です。 系の状態からエネルギーを算出する式が得られれば、機械的に、かつ座標系に依存せず、系の微分方程式を組み立てることができる優れものの手法です。
この記事では、系を互いに影響しあう質点の集合体と捉え、より一般的な一般座標を使い、ニュートンの運動方程式を、座標系に依存しない形のラグランジュの運動方程式に 変換し、ラグランジュの運動方程式が、ニュートン力学と同等であることを示します。
一般化座標
系には N個の質点からできているとします。 各質点のデカルト座標は 、質量は としましょう。
すると、1個のデカルト座標は3個の座標値を持つので 個の座標値があるわけです。これを個の自由度を持つといいます。
現実の系では、例えば、2個の質点はロープで繋がっていて距離は一定になっちるとか、ある質点は特定の溝に沿って運動しなければ ならないとか、様々な条件の中で動きます。これを束縛条件といいます。
個の束縛条件が存在すると、自由度は 個に減少します。これは全ての質点の座標を 個の独立変数で表せることを意味します。つまり、束縛の時間的な変動も考慮すると、質点の座標は
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と表せます。この独立変数 を一般化座標といいます。