「ラグランジュの運動方程式の導出」の版間の差分
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+ | 質点の座標の自由度を下げる働きをした「束縛」は質点の座標の取る値を制限します。 | ||
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+ | 束縛には、ホロノーム型と非ホロノーム型の2種類がありますが、ここではホロノーム型の束縛のみを扱います。 | ||
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+ | {{eqn|<math>G_l({\boldsymbol r_1}, {\boldsymbol r_2}, \cdots, {\boldsymbol r_N})=0 (l = 1, 2, \cdots h)</math>|2}} | ||
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+ | という形にかける束縛のことです。例えば、球が坂を転がり落ちる場合、球は坂に沿って転がるように束縛されます。この時坂から球は、坂に沿って動くように垂直抗力を受けます。 | ||
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+ | もし、物体が電車のように決まった軌道に沿って動くなら、物体は軌道(レールのようなもの)から車輪にやはり垂直抗力を受けます。この、系を束縛条件に沿って運動させる力を束縛力といいます。 | ||
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+ | ベクトルを使って物体を扱うニュートン力学では、この束縛力を見積もるのがなかなか大変で、計算が困難なのですが、解析力学では、束縛力をうまく無視することができます。 | ||
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+ | 例えば、剛体の運動は、本当は剛体の形を保つための原子/分子間に働く無数の束縛力を扱わなければならず、無限に等しい個数の運動方程式を解かなければなりません。しかし、解析力学では、束縛力を直接扱わずに式を立てられるため、運動方程式が非常に単純化します。 | ||
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+ | ここで、ニュートンの運動方程式を、束縛力も含めて考えてみましょう。 | ||
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+ | {{eqn|<math>m_a\ddot{{\boldsymbol r_a}}={\boldsymbol F_a} + {\boldsymbol C_a}</math>|3}} | ||
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+ | <math>{\boldsymbol F_a}</math>が外力で系の外から加わる力、<math>{\boldsymbol C_a}</math>が束縛力で系の運動を束縛に合わせる力です。 | ||
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+ | ここで、変位 <math>\delta{\boldsymbol r_a}</math> で力が行う仕事の総和を考えます。ここでいう変位 <math>\delta{\boldsymbol r_a}</math> とは、束縛に従うように変化する任意の変位のことで、時間の経過は0とします。 | ||
==2つの公式の証明== | ==2つの公式の証明== | ||
==ニュートンの運動方程式からラグランジュの運動方程式へ== | ==ニュートンの運動方程式からラグランジュの運動方程式へ== |
2015年6月20日 (土) 10:40時点における版
はじめに
この記事では、ラグランジュの運動方程式を導出の仕方を解説します。
ラグランジュの運動方程式は、系の運動エネルギーと系に加わる力から、系の運動を導き出す運動方程式です。 系の挙動が運動エネルギーと力に集約して描けるのが特徴で、力とたった一つのスカラー関数で系の運動のすべてを記述する美しい方程式です。 系の状態からエネルギーを算出する式が得られれば、機械的に、かつ座標系に依存せず、系の微分方程式を組み立てることができる優れものの手法です。
この記事では、系を互いに影響しあう質点の集合体と捉え、より一般的な一般座標を使い、ニュートンの運動方程式を、座標系に依存しない形のラグランジュの運動方程式に 変換し、ラグランジュの運動方程式が、ニュートン力学と同等であることを示します。
一般化座標
系には N個の質点からできているとします。 各質点のデカルト座標は 、質量は としましょう。
すると、1個のデカルト座標は3個の座標値を持つので 個の座標値があるわけです。これを個の自由度を持つといいます。
現実の系では、例えば、2個の質点はロープで繋がっていて距離は一定になっちるとか、ある質点は特定の溝に沿って運動しなければ ならないとか、様々な条件の中で動きます。これを束縛条件といいます。
個の束縛条件が存在すると、自由度は 個に減少します。これは全ての質点の座標を 個の独立変数で表せることを意味します。つまり、束縛の時間的な変動も考慮すると、質点の座標は
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と表せます。この独立変数 を一般化座標といいます。
束縛条件と束縛力
質点の座標の自由度を下げる働きをした「束縛」は質点の座標の取る値を制限します。
束縛には、ホロノーム型と非ホロノーム型の2種類がありますが、ここではホロノーム型の束縛のみを扱います。
ホロノーム型の束縛とは、
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という形にかける束縛のことです。例えば、球が坂を転がり落ちる場合、球は坂に沿って転がるように束縛されます。この時坂から球は、坂に沿って動くように垂直抗力を受けます。
もし、物体が電車のように決まった軌道に沿って動くなら、物体は軌道(レールのようなもの)から車輪にやはり垂直抗力を受けます。この、系を束縛条件に沿って運動させる力を束縛力といいます。
ベクトルを使って物体を扱うニュートン力学では、この束縛力を見積もるのがなかなか大変で、計算が困難なのですが、解析力学では、束縛力をうまく無視することができます。
例えば、剛体の運動は、本当は剛体の形を保つための原子/分子間に働く無数の束縛力を扱わなければならず、無限に等しい個数の運動方程式を解かなければなりません。しかし、解析力学では、束縛力を直接扱わずに式を立てられるため、運動方程式が非常に単純化します。
ここで、ニュートンの運動方程式を、束縛力も含めて考えてみましょう。
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が外力で系の外から加わる力、が束縛力で系の運動を束縛に合わせる力です。
ここで、変位 で力が行う仕事の総和を考えます。ここでいう変位 とは、束縛に従うように変化する任意の変位のことで、時間の経過は0とします。