ラグランジュの運動方程式の導出

はじめに

この記事では、ラグランジュの運動方程式を導出の仕方を解説します。

ラグランジュの運動方程式は、系の運動エネルギーと系に加わる力から、系の運動を導き出す運動方程式です。系の挙動が運動エネルギーと力に集約して描けるのが特徴で、力とたった一つのスカラー関数で系の運動のすべてを記述する美しい方程式です。系の状態からエネルギーを算出する式が得られれば、機械的に、かつ座標系に依存せず、系の微分方程式を組み立てることができる優れものの手法です。

この記事では、系を互いに影響しあう質点の集合体と捉え、より一般的な一般座標を使い、ニュートンの運動方程式を、座標系に依存しない形のラグランジュの運動方程式に変換し、ラグランジュの運動方程式が、ニュートン力学と同等であることを示します。

一般化座標

系には N個の質点からできているとします。各質点のデカルト座標は ${\boldsymbol r_a} (a = 1, 2, \cdots N)$ 、質量は $m_a$ としましょう。

すると、1個のデカルト座標は3個の座標値を持つので $3N$ 個の座標値があるわけです。これを $3N$ 個の自由度を持つといいます。

現実の系では、例えば、2個の質点はロープで繋がっていて距離は一定になっているとか、ある質点は特定の溝に沿って運動しなければならないとか、様々な条件の中で動きます。これを束縛条件といいます。

$h$ 個の束縛条件が存在すると、自由度は $n=3N -h$ 個に減少します。これは全ての質点の座標を $n$ 個の独立変数で表せることを意味します。つまり、束縛の時間的な変動も考慮すると、質点の座標は

{\boldsymbol r_a} = {\boldsymbol r_a}(q_1, q_2, \cdots, q_n, t) \ (a=1, 2, \cdots , N)

( 1 )

と表せます。この独立変数 $q_1, q_2, \cdots, q_n$ を一般化座標といいます。

ダランベールの原理

m_a\ddot{{\boldsymbol r_a}}={\boldsymbol Fmass_a}

( 2 )

束縛条件と束縛力

質点の座標の自由度を下げる働きをした「束縛」は質点の座標の取る値を制限します。

束縛には、ホロノーム型と非ホロノーム型の2種類がありますが、ここではホロノーム型の束縛のみを扱います。

ホロノーム型の束縛とは、

G_l({\boldsymbol r_1}, {\boldsymbol r_2}, \cdots, {\boldsymbol r_N}, t)=0\ (l = 1, 2, \cdots h)

( 2 )

という形にかける束縛のことです。例えば、球が坂を転がり落ちる場合、球は坂に沿って転がるように束縛されます。この時坂から球は、坂に沿って動くように垂直抗力を受けます。

もし、物体が電車のように決まった軌道に沿って動くなら、物体は軌道(レールのようなもの)から車輪にやはり垂直抗力を受けます。この、系を束縛条件に沿って運動させる力を束縛力といいます。

ベクトルを使って物体を扱うニュートン力学では、この束縛力を見積もるのがなかなか大変で、計算が困難なのですが、解析力学では、束縛力をうまく無視することができます。

例えば、剛体の運動は、本当は剛体の形を保つための原子/分子間に働く無数の束縛力を扱わなければならず、無限に等しい個数の運動方程式を解かなければなりません。しかし、解析力学では、束縛力を直接扱わずに式を立てられるため、運動方程式が非常に単純化します。

ニュートンの運動方程式を、束縛力も含めて考えてみましょう。

m_a\ddot{{\boldsymbol r_a}}={\boldsymbol F_a} + {\boldsymbol C_a}

( 3 )

${\boldsymbol F_a}$ が外力で系の外から加わる力、 ${\boldsymbol C_a}$ が束縛力で系の運動を束縛に合わせる力です。束縛力は必ずしも内カではなく外カの場合もあります。(例: 振り子を支えるカ)

ここで、束縛力とは何なのか、そもそもどのように定義できるのかを考えてみましょう。

変位 $\delta{\boldsymbol r_a}$ で質点にかかる力が行う仕事の全質点での(系での)総和を考えます。ここでいう変位 $\delta{\boldsymbol r_a}$ とは、特定の時刻で束縛に従うように変化する任意の変位のことです。これを仮想変位といいます。なぜ「仮想」などという形容詞をつけるのかというと、時間の経過の無い変位だからです。任意の変位だから、時間経過との比をいくらでも任意の変えられるということもありますが、

「任意の仮想変位対して力がする仕事と慣性力がする仕事(加速度と変位の積)は等しい」

というのはダランベールの原理と呼ばれ、解析力学のニュートン力学に対する唯一の拡張です。なので仮想変位という概念は無条件に認めるしかありません。式にすると

\sum_am_a\ddot{{\boldsymbol r_a}}\cdot\delta{\boldsymbol r_a} = \sum_a({\boldsymbol F_a} + {\boldsymbol C_a})\cdot\delta{\boldsymbol r_a}

( 4 )

となりますが、多くの教科書では慣性力と力の釣り合いを強調して

\sum_a({\boldsymbol F_a} + {\boldsymbol C_a} - m_a\ddot{{\boldsymbol r_a}}\cdot)\delta{\boldsymbol r_a}=0

( 5 )

と書くことが多いです。

多くの教科書に書いてあるように、質点間の関係がホロノーム型になるような束縛は仕事をしません。例えば垂直抗力は変位の方向と力が垂直ですし、ロープの張力はロープの両端で張力によるエネルギーの得失が発生して正味０になります。しかしこのことは、より一般的な、式(2)に従うことで発生する一般的な束縛力でも成り立つのでしょうか？　そもそも束縛条件から束縛力はどのように決まるのでしょうか？

束縛条件式2の関数 $G_l$ は常にゼロですから、仮想変位に対する変化量も当然ゼロです。 $\delta r_{a, i}$ が質点 $a$ の仮想変位の各軸(i=1⇒x座標, i=2⇒y座標, i=3⇒z座標) の成分を表すとすると、仮想変位に対する $G_l$ の変化量は以下の式であらわされます。

\sum_{a, i}\frac{\partial G_l}{\partial r_{a, i}}\delta r_{a, i}=0 \ (i=1,2,3 \ \ l=1, \cdots , h)

( 6 )

これは、 $\frac{\partial G_l}{\partial r_{a, i}}$ を要素とする3N次元の多次元ベクトル ${\boldsymbol G_l}$ と、 $r_{a, i}$ を要素とする3N次元の多次元ベクトル $\delta{\boldsymbol R}$ の内積と考えることができます。

つまり、仮想変位 $\delta{\boldsymbol R}$ は ${\boldsymbol G_l}$ 方向への多次元ベクトル成分を含みませんから、質点に加わる力のうち、 ${\boldsymbol G_l} \ \ (l=1, \cdots, h)$ 方向の成分だけを取り出せば、その力は仕事をしません。これを束縛力( ${\boldsymbol C_a}$ )と定義してやれば、束縛力は必然的に仕事をしないことになります。