ラグランジュ未定乗数法の基本部分

ラグランジュ未定乗数法の基本は意外と簡単なものです。

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): {\bf a}\cdot{\bf b}=0 \label{eq12}

が任意のベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {b}}}

で成り立つには 構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {a}}}={{\bf {0}}}

　であることが必要です。

では、一次独立なベクトル群 構文解析に失敗 (字句解析エラー): {\bf c_l} (l=1～K)

に対し

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): {\bf b}\cdot{\bf c_l}=0 (l=1\sim K) \label{eq3}

という制限の中で 構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {b}}}

が任意であるとき、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {a}}}
はどのような値になり得るかを考えてみましょう。

構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {b}}}

がとり得るベクトルの集合は基底 構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {c_{l}}}}

が張る部分空間の直交補空間であることは定義上明らかです。また、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {a}}}

のとり得るベクトルの集合は 構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {b}}}
のとり得るベクトル集合の直交補空間であることは明らかです。

つまり、「直交補空間」の記事で書いたように、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {a}}} のとり得るベクトル集合は 構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {c_{l}}}}

が張る部分空間と同じになるので、

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): {\bf a}=\lambda_1{\bf c_1}+\lambda_2{\bf c_2}+\cdots+\lambda_K{\bf c_K} \label{eq4}

となるのです。この一次結合の結合係数が実はラグランジュの未定乗数になるのです。

案内メニュー