幾何学単位系

はじめに

物理や我々の生活の中で使われる単位系は、今や SI単位系(MKSA単位系)が普通ですが、SI単位系は人間がその生活の中で決めた単位を含んでおり、物理学に本来不要な換算係数を持ち込むという欠点があります。

ここで紹介する幾何学単位系は、相対性理論の成果を取り込み、相対性理論の式を非常に単純化する単位系です。

幾何学単位系の特徴は、何といっても単位に m(メートル) しか出てこないことです。なんと、時間も質量も運動量もエネルギーも単位は m になり、他の単位も全て m で記述されます。

幾何学単位系は重力定数、光速、クーロンの法則の係数 $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ が無次元の 1 になるように工夫された単位系です。

幾何単位系では単位の中に基本単位として距離の単位である m(メートル) しか出てきません。

ここでは、単位の次元を表す際、距離の単位 m は L と表記することとします。

また、記号 c はSI単位で表した光速を表し $299,792,458 m/s$ , 記号 G はSI単位で表した重力定数 $6.673 \times 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}$ を表すこととします。

SI と同じ m で表されます。何も変わりません。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$1$	$1$	L

相対性理論の成果を取り入れ、時間と長さは同じ単位になるべきものと考えます。

幾何単位系では 1秒は、その時間での光の飛行距離、つまり $299,792,458$ m とします。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$c$	$\frac{1}{c}$	L

一般相対性理論の成果より、SI単位系での質量とシュバルツシルト半径との関係は

r_g = \frac{2GM}{c^2}

この式をそのまま幾何学単位系でも採用し、c=G=1 とすると

\frac{r_g}{2} = M

従って、質量はシュバルツシルト半径の半分になります。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{G}{c^2}$	$\frac{c^2}{G}$	L

時間の単位が m になったので、時間は $c$ 倍になり、速度は $\frac{1}{c}$ になります。

つまり速度は無次元量になり、光速との比になります。

SIからの換算係数	SIへの換算係数	次元
$\frac{1}{c}$	$c$	無