「指定方向のローレンツ変換」の版間の差分
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+ | <math>v=\left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)= | ||
+ | \left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) </math> のケースで、 | ||
+ | 4次元でちゃんと書くと | ||
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+ | {{eqn|<math> | ||
+ | \tanh\alpha=|v|, | ||
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+ | \sinh\alpha & \cosh\alpha & 0 & 0\\ | ||
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+ | 0 & 0 & 0 & 1 | ||
+ | \end{array}\right) = | ||
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+ | \left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) | ||
+ | </math>|1}} | ||
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+ | となりますが、時刻の同時性のずれは、 <math>v</math>方向の位置成分に比例するので | ||
+ | <math>{\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) </math> | ||
+ | とすると | ||
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+ | {{eqn|<math> | ||
+ | t=\cosh\alpha+\sinh\alpha\frac{{\boldsymbol v}\cdot {\boldsymbol r'}}{|{\boldsymbol v}|} | ||
+ | </math>|2}} |
2016年3月17日 (木) 10:52時点における版
ローレンツ変換は、空間1次元、時間1次元の2次元時空で扱うことが多いですが、
空間3次元、時間一次元の4次元時空ではどうなるかを探って見ました。
準備
まず座標系ですが、 座標系と 座標系の2個を用意します。 と が時間軸、 と が 空間軸です。
と は原点一致しませんが、各軸の向きは同じとします。 また、 の時、 と の原点が 重なるとします。
の原点の 座標系での速度を とします。
なお、座標系の単位は幾何学座標系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。
2次元時空のローレンツ変換
美しいローレンツ変換 で紹介したローレンツ変換は のケースで、 4次元でちゃんと書くと
( 1 ) |
となりますが、時刻の同時性のずれは、 方向の位置成分に比例するので とすると
( 2 ) |