「指定方向のローレンツ変換」の版間の差分
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(→2次元時空のローレンツ変換) |
(→2次元時空のローレンツ変換) |
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</math>|1}} | </math>|1}} | ||
− | となりますが、時刻の同時性のずれは、 <math>v</math> | + | となりますが、時刻の同時性のずれは、 <math>v</math>方向の位置成分に比例するので、 |
+ | 位置の <math>v</math> 方向成分が <math>({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u}</math>、位置の <math>v</math> に対して垂直な成分が <math>{\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u}</math> であることを考慮すると | ||
+ | |||
<math>{\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) </math> | <math>{\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) </math> | ||
− | とすると | + | 、<math>{\boldsymbol u}=\left( |
+ | \begin{array} {c} | ||
+ | \frac{v_x}{|{\boldsymbol v}|} \\ | ||
+ | \frac{v_y}{|{\boldsymbol v}|} \\ | ||
+ | \frac{v_z}{|{\boldsymbol v}|} | ||
+ | \end{array}\right) </math>とすると | ||
{{eqn|<math> | {{eqn|<math> | ||
− | t=\cosh\alpha+\sinh\alpha | + | t=\cosh\alpha+\sinh\alpha({\boldsymbol u}\cdot {\boldsymbol r'}) |
</math>|2}} | </math>|2}} | ||
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+ | 位置は <math>{\boldsymbol v}</math> 方向のみローレンツ短縮が起きるので | ||
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+ | {{eqn|<math> | ||
+ | |||
+ | {\boldsymbol r}=\sinh\alpha{\boldsymbol u}t + {\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} + | ||
+ | \cosh\alpha({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} | ||
+ | |||
+ | </math>|3}} |
2016年3月17日 (木) 11:15時点における版
ローレンツ変換は、空間1次元、時間1次元の2次元時空で扱うことが多いですが、
空間3次元、時間一次元の4次元時空ではどうなるかを探って見ました。
準備
まず座標系ですが、 座標系と 座標系の2個を用意します。 と が時間軸、 と が 空間軸です。
と は原点一致しませんが、各軸の向きは同じとします。 また、 の時、 と の原点が 重なるとします。
の原点の 座標系での速度を とします。
なお、座標系の単位は幾何学座標系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。
2次元時空のローレンツ変換
美しいローレンツ変換 で紹介したローレンツ変換は のケースで、 4次元でちゃんと書くと
( 1 ) |
となりますが、時刻の同時性のずれは、 方向の位置成分に比例するので、 位置の 方向成分が 、位置の に対して垂直な成分が であることを考慮すると
、とすると
( 2 ) |
位置は 方向のみローレンツ短縮が起きるので
( 3 ) |