「指定方向のローレンツ変換」の版間の差分
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(→v の方向が任意のローレンツ変換) |
(→v の方向が任意のローレンツ変換) |
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60行: | 60行: | ||
{{eqn|<math> | {{eqn|<math> | ||
− | t=\cosh\alpha t'+\sinh\alpha({\boldsymbol u}\cdot {\boldsymbol r'}) | + | t=\cosh\alpha\ t'+\sinh\alpha\ ({\boldsymbol u}\cdot {\boldsymbol r'}) |
</math>|2}} | </math>|2}} | ||
75行: | 75行: | ||
{{eqn|<math> | {{eqn|<math> | ||
− | {\boldsymbol r}=\sinh\alpha{\boldsymbol u}t + {\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} + | + | {\boldsymbol r}=\sinh\alpha\ {\boldsymbol u}t + {\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} + |
− | \cosh\alpha({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} | + | \cosh\alpha\ ({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} |
</math>|3}} | </math>|3}} | ||
87行: | 87行: | ||
\left( \begin{array} {cccc} | \left( \begin{array} {cccc} | ||
− | \cosh\alpha & \sinh\alpha u_x & \sinh\alpha u_y & \sinh\alpha u_z \\ | + | \cosh\alpha & \sinh\alpha\ u_x & \sinh\alpha\ u_y & \sinh\alpha\ u_z \\ |
− | \sinh\alpha u_x & \lambda u_x^2+1 & \lambda u_xu_y & \lambda u_xu_z \\ | + | \sinh\alpha\ u_x & \lambda u_x^2+1 & \lambda u_xu_y & \lambda u_xu_z \\ |
− | \sinh\alpha u_y & \lambda u_yu_x & \lambda u_y^2+1 & \lambda u_yu_z \\ | + | \sinh\alpha\ u_y & \lambda u_yu_x & \lambda u_y^2+1 & \lambda u_yu_z \\ |
− | \sinh\alpha u_z & \lambda u_zu_x & \lambda u_zu_y & \lambda u_z^2+1 | + | \sinh\alpha\ u_z & \lambda u_zu_x & \lambda u_zu_y & \lambda u_z^2+1 |
\end{array}\right) | \end{array}\right) |
2016年3月18日 (金) 01:00時点における版
ローレンツ変換は、空間1次元、時間1次元の2次元時空で扱うことが多いですが、
空間3次元、時間一次元の4次元時空ではどうなるかを探って見ました。
準備
まず座標系ですが、 座標系と 座標系の2個を用意します。 と が時間軸、 と が 空間軸です。
座標系と 座標系は通常原点は一致しませんが、 各軸の向きは同じとします。 また、 の時、 座標系と 座標系の原点が重なるとします。
つまり、 座標系と 座標系の原点は重なるのです。
の原点の 座標系での速度を とします。
なお、座標系の単位は幾何学座標系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。
x軸方向のローレンツ変換
美しいローレンツ変換 で紹介したローレンツ変換は のケースで、 4次元でちゃんと書くと
( 1 ) |
となります。これを任意方向の に拡張してみましょう。
の方向が任意のローレンツ変換
時刻の同時性のずれは、 方向の位置成分に比例するので、
、 の7方向ベクトルを とすると
( 2 ) |
位置は 方向のみローレンツ短縮が起きるので
位置 の 方向成分が
、
位置の に対して垂直な成分が
であることを考慮すると、
は
( 3 ) |
これを行列に直すと、 とすれば
( 4 ) |
に すると、式(4)は式(1)に一致するので正しそうです。