指定方向のローレンツ変換

ローレンツ変換は、空間1次元、時間1次元の2次元時空で扱うことが多いですが、空間3次元、時間一次元の4次元時空ではどうなるかを探って見ました。

準備

まず座標系ですが、 $txyz$ 座標系と $t'x'y'z'$ 座標系の2個を用意します。 $t$ と $t'$ が時間軸、 $xyz$ と $x'y'z'$ が空間軸です。

$txyz$ と $t'x'y'z'$ は原点一致しませんが、各軸の向きは同じとします。また、 $t=t'~0$ の時、 $t'x'y'z'$ と $t'x'y'z'$ の原点が重なるとします。

$t'x'y'z'$ の原点の $txyz$ 座標系での速度を $v = \left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)$ とします。

なお、座標系の単位は幾何学座標系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。