指定方向のローレンツ変換

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ローレンツ変換は、空間1次元、時間1次元の2次元時空で扱うことが多いですが、 空間3次元、時間一次元の4次元時空ではどうなるかを探って見ました。

準備

まず座標系ですが、 $txyz$ 座標系と $t'x'y'z'$ 座標系の2個を用意します。 $t$ と $t'$ が時間軸、 $xyz$ と $x'y'z'$ が 空間軸です。

$txyz$ と $t'x'y'z'$ は原点一致しませんが、各軸の向きは同じとします。 また、$t=t'~0$ の時、 $t'x'y'z'$ と $t'x'y'z'$ の原点が 重なるとします。

$t'x'y'z'$ の原点の $txyz$ 座標系での速度を $v = \left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)$ とします。

なお、座標系の単位は幾何学座標系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。

2次元時空のローレンツ変換

美しいローレンツ変換 で紹介したローレンツ変換は $v=\left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)= \left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ のケースで、 4次元でちゃんと書くと

$\tanh\alpha=|v|, \left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cccc} \cosh\alpha & \sinh\alpha & 0 & 0 \\ \sinh\alpha & \cosh\alpha & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right)$

( 1 )

となりますが、時刻の同時性のずれは、 $v$方向の位置成分に比例するので ${\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right)$ とすると

$t=\cosh\alpha+\sinh\alpha\frac{{\boldsymbol v}\cdot {\boldsymbol r'}}{|{\boldsymbol v}|}$

( 2 )