指定方向のローレンツ変換

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ローレンツ変換は、空間1次元、時間1次元の2次元時空で扱うことが多いですが、 空間3次元、時間一次元の4次元時空ではどうなるかを探って見ました。

準備

まず座標系ですが、 txyz 座標系と t'x'y'z' 座標系の2個を用意します。 tt' が時間軸、 xyzx'y'z' が 空間軸です。

xyz 座標系と x'y'z' 座標系は通常原点は一致しませんが、 各軸の向きは同じとします。 また、t=t'=0 の時、 xyz 座標系と x'y'z' 座標系の原点が重なるとします。

つまり、txyz 座標系と t'x'y'z' 座標系の原点は重なるのです。

t'x'y'z' の原点の txyz 座標系での速度を v = \left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right) とします。

なお、座標系の単位は幾何学座標系を採用します(時間の単位は m, 速度の単位は無次元量で光速との比)。

x軸方向のローレンツ変換

美しいローレンツ変換 で紹介したローレンツ変換は v=\left( \begin{array} {c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array}\right)=
\left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)  のケースで、 4次元でちゃんと書くと


\tanh\alpha=|v|,  
\left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) =

\left( \begin{array} {cccc} 
\cosh\alpha & \sinh\alpha & 0 & 0 \\ 
\sinh\alpha & \cosh\alpha & 0 & 0\\ 
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{array}\right) =

\left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right)
( 1 )

となります。これを任意方向の v に拡張してみましょう。

v の方向が任意のローレンツ変換

時刻の同時性のずれは、 v方向の位置成分に比例するので、 {\boldsymbol r'}=\left( \begin{array} {c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) v の7方向ベクトルを {\boldsymbol u}=\left( 
\begin{array} {c} 
\frac{v_x}{|{\boldsymbol v}|} \\ 
\frac{v_y}{|{\boldsymbol v}|} \\ 
\frac{v_z}{|{\boldsymbol v}|} 
\end{array}\right) とすると

 
t=\cosh\alpha+\sinh\alpha({\boldsymbol u}\cdot {\boldsymbol r'})
( 2 )

位置は {\boldsymbol v} 方向のみローレンツ短縮が起きる。


位置の v 方向成分が ({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u}、位置の v に対して垂直な成分が {\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} であることを考慮すると、 {\boldsymbol r}=\left( \begin{array} {c} x \\ y \\ z \end{array}\right)

 

{\boldsymbol r}=\sinh\alpha{\boldsymbol u}t + {\boldsymbol r'}-({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u} + 
\cosh\alpha({\boldsymbol r'}\cdot{\boldsymbol u}){\boldsymbol u}

( 3 )

これを行列に直すと、\lambda = \cosh\alpha-1 とすれば

 
\left( \begin{array} {c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}\right) =

\left( \begin{array} {cccc} 

\cosh\alpha & \sinh\alpha u_x & \sinh\alpha u_y & \sinh\alpha u_z \\ 

\sinh\alpha u_x & \lambda u_x^2+1 & \lambda u_xu_y & \lambda u_xu_z \\
 
\sinh\alpha u_y & \lambda u_yu_x & \lambda u_y^2+1 & \lambda u_yu_z \\

\sinh\alpha u_z & \lambda u_zu_x & \lambda u_zu_y & \lambda u_z^2+1 

\end{array}\right)

\left( \begin{array} {c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array}\right)
( 4 )