「美しいローレンツ変換」の版間の差分

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2016年3月3日 (木) 13:45時点における版

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相対性理論のローレンツ変換は、なんかゴチャゴチャしていてめんどくさそうと感じておられる方も多いと思います。この点に関して、実はキャンベルの「時空の幾何学」という相対性理論の解説書の中で、その美しさが詳細に述べられていたのですが、残念ながら邦訳は何故か絶版になってしまいました。

そこで、この記事では、このローレンツ変換の秘められた美しさについて説明します。

ローレンツ変換

下図は、特殊相対性理論を説明するための図です。この図には $xyz$ と $x'y'z'$ の二つの座標系が示されています。

相対性理論ではおなじみの座標系の設定ですが、

両座標系とも慣性系で、それぞれの座標系の時刻 $t$ と $t'$ が $t=t'=0$ の時、2つの座標系の原点が一致(重なる)ものとします。

また、座標軸 $x$ と座標軸 $x'$ 、座標軸 $y$ と座標軸 $y'$ 、座標軸 $z$ と座標軸 $z'$ はそれぞれ同じ向きとし、 $x'y'z'$ 座標系は $xyz$ 座標系の対し、 $x$ 軸方向に速度 $v$ で運動しているものとします。

この二つの座標系では、相対性理論でおなじみのローレンツ変換の関係が成り立ちます。 $c$ は光速とすると

\left( \begin{array} {cc}t\\ x \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} & \frac{\frac{v}{c^2}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \\ \frac{v}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} t'\\ x' \end{array}\right), y=y', z=z'

( 1 )

確かになんかごちゃごちゃしています。真ん中へんにある行列は対称行列でもないし、回転行列のような単純な美しさもありません。いったいどこが美しいのでしょうか？

ではこれから、ローレンツ変換行列の中に隠された美しさを見てゆきましょう。

座標をちょっといじってみる

ここで、時刻を表すのに、単位が秒の $t$ や　 $t'$ の代わりに、これらに光速をかけた、つまり単位をメートルにした値を時刻に採用します。つまり、時刻の単位を秒ではなく、メートルに変換するのです。

すると、ローレンツ変換は

\left( \begin{array} {cc} ct\\ x \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} & \frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \\ \frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} ct'\\ x' \end{array}\right)

( 2 )

となります。なんと対称行列になってしまいました。最初に比べて美しさが格段に増しています。このことは、時刻が本質的にメートルで表されるべきことを暗示していますが、先に進みましょう。

双曲線関数を使ってみる

式がより簡単になるように、速度 $v$ と光速 $c$ の比を $V = \frac{v}{c}$ と表すことにすると、つまり、座標系間の速度を光速に対する比で表すことにすると

\left( \begin{array} {cc} ct\\ x \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} & \frac{V}{\sqrt{1-V^2}} \\ \frac{V}{\sqrt{1-V^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-V^2}} \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} ct'\\ x' \end{array}\right)

( 3 )

ここで、 $\tanh \alpha = V$ とすると、双曲線関数の扱いに慣れた方なら、簡単に公式からわかるはずですが

\left( \begin{array} {cc} ct\\ x \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \cosh \alpha & \sinh \alpha \\ \sinh \alpha & \cosh \alpha \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} ct'\\ x' \end{array}\right)

( 4 )

となってしまいます。

なんと、まるで回転行列のようなとても単純で覚えやすくて美しい配列になってしまいました。

実はこの配列は双曲線回転の回転行列で、つまりローレンツ変換というのは時空座標の双曲線回転なのです。

以下に双曲線回転の回転行列がどのようなものかを説明します。

以下鋭意作成中。

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