回転行列と複素数の積

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初歩的な話で申し訳ありませんが、他の説明で使いたいので、ここではベクトルと複素数と2次元回転の関係の話を書き留めておきます。

回転行列

2次元座標で原点を中心にした回転は、簡単な行列で表現できます。回転行列と呼ばれます。さっそく導いてみましょう。

任意の点 ${\boldsymbol r} = \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right)$ を、原点を中心に反時計回りに $\beta$ 回転させてみましょう。回転後の座標を ${\boldsymbol r'} = \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right)$ とし、${\boldsymbol r}$ の極座標での長さを $r$ 偏角を $\alpha$ とすると

$x = r\cos\alpha$

( 1 )

$y = r\sin\alpha$

( 2 )

$x' = r\cos(\alpha+\beta)$

( 3 )

$y' = r\sin(\alpha+\beta)$

( 4 )

(3)と(4)は角度の加法定理をあてはめると

$x' = r\cos\alpha\cos\beta-r\sin\alpha\sin\beta$

( 5 )

$y' = r\sin\alpha\cos\beta+r\cos\alpha\sin\beta$

( 6 )

これに、(1)と(2)を使うと

$x' = \cos\beta\cdot x-\sin\beta\cdot y$

( 7 )

$y' = x\sin\beta\cdot x + \cos\beta\cdot y$

( 8 )

これを行列を使って書き直せば

$\left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -sin\beta \\ \sin\beta& \ cos\beta \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right)$

( 9 )

これが2次元の回転行列と呼ばれるもので、${\boldsymbol r} = \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right)$　を角度βだけ回転させ、${\boldsymbol r'} = \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right)$ に変換します。

この回転行列を2個掛け合わせたらどうなるのでしょうか？

$\left( \begin{array} {cc} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta& \cos\beta \end{array}\right)$

( 10 )

この行列はβの回転とαの回転を順次行うわけですから、α+βだけの回転になるはずで、これを回転行列で表現すると

$\left( \begin{array} {cc} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta)& \cos(\alpha+\beta) \end{array}\right)$

( 11 )

となるはずです。(10) と (11) は一致するはずですが、(10) を計算すると

$\left( \begin{array} {cc} \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{array}\right)$

( 12 )

となり、(10)と(11)の関係は角度の加法定理と一致しています。

以上のように回転行列の積は回転角度の和に対応しており、角度の加法定理を覚えておけば回転行列は簡単に導けますし、回転行列を覚えておけば角度の加法定理を容易に導けます。

複素数の積

複素数の掛け算の演算規則は $(a+\mathrm{i}\cdot b)(c+\mathrm{i}\cdot d)=ac-bd+\mathrm{i}\cdot (ad+bc)$ と単純ですが、 にもかかわらず幾何学的には「回転」と密接に関係しています。この関係が複素数の有用さの源泉になっています。その秘密をちょっと探ってみましょう。

複素数 $c1$、$c2$ をその大きさ　$r_1$、 $r_2$ と偏角$\alpha$、$\beta$ で表すと

$c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha$、　$c_2 = r_2\cos\beta + \mathrm{i}\cdot r_2\sin\beta$

( 13 )

となります。ここで複素数の積 $c_1c_2$を計算してみましょう。

$c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)$

( 14 )

この式に角度の加法定理を当てはめると

$c_1c_2=r_1r_2\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2\sin(\alpha+\beta) = r_1r_2(\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot\sin(\alpha+\beta))$

( 15 )

以上から、複素数の掛け算とは、大きさを掛け、偏角を足す計算であることがわかります。 つまり複素数の掛け算の単純な規則を覚えておけば、角度の加法定理は簡単に導けるということです。

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