「回転行列と複素数の積」の版間の差分

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2015年2月9日 (月) 21:57時点における版

メインページ>数学の部屋>回転

初歩的な話で申し訳ありませんが、他の説明で使いたいので、ここではベクトルと複素数と2次元回転の関係の話を書き留めておきます。

回転行列

回転行列と複素数の積1.png

2次元座標で原点を中心にした回転は、簡単な行列で表現できます。回転行列と呼ばれます。さっそく導いてみましょう。

任意の点 {\boldsymbol r} = \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) を、原点を中心に反時計回りに \beta 回転させてみましょう。回転後の座標を {\boldsymbol r'} = \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right) とし、{\boldsymbol r} の極座標での長さを r 偏角を \alpha とすると


x = r\cos\alpha ( 1 )
y = r\sin\alpha ( 2 )
x' = r\cos(\alpha+\beta) ( 3 )
y' = r\sin(\alpha+\beta) ( 4 )


(3)と(4)は角度の加法定理をあてはめると


x' = r\cos\alpha\cos\beta-r\sin\alpha\sin\beta ( 5 )
y' = r\sin\alpha\cos\beta+r\cos\alpha\sin\beta ( 6 )


これに、(1)と(2)を使うと


x' = \cos\beta\cdot x-\sin\beta\cdot y ( 7 )
y' = x\sin\beta\cdot x + \cos\beta\cdot y ( 8 )


これを行列を使って書き直せば


\left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -sin\beta \\ \sin\beta& \ cos\beta \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) ( 9 )


これが2次元の回転行列と呼ばれるもので、{\boldsymbol r} = \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) 　を角度βだけ回転させ、{\boldsymbol r'} = \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right) に変換します。

この回転行列を2個掛け合わせたらどうなるのでしょうか？


\left( \begin{array} {cc} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta& \cos\beta \end{array}\right) ( 10 )


この行列はβの回転とαの回転を順次行うわけですから、α+βだけの回転になるはずで、これを回転行列で表現すると


\left( \begin{array} {cc} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta)& \cos(\alpha+\beta) \end{array}\right) ( 11 )


となるはずです。(10) と (11) は一致するはずですが、(10) を計算すると


\left( \begin{array} {cc} \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{array}\right) ( 12 )


となり、(10)と(11)の関係は角度の加法定理と一致しています。

以上のように回転行列の積は回転角度の和に対応しており、角度の加法定理を覚えておけば回転行列は簡単に導けますし、回転行列を覚えておけば角度の加法定理を容易に導けます。

複素数の積

複素数の掛け算の演算規則は (a+\mathrm{i}\cdot b)(c+\mathrm{i}\cdot d)=ac-bd+\mathrm{i}\cdot (ad+bc) と単純ですが、 にもかかわらず幾何学的には「回転」と密接に関係しています。この関係が複素数の有用さの源泉になっています。その秘密をちょっと探ってみましょう。

複素数 c1、c2 をその大きさ　r_1、 r_2 と偏角\alpha、\beta で表すと


c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha、　 c_2 = r_2\cos\beta + \mathrm{i}\cdot r_2\sin\beta ( 13 )


となります。ここで複素数の積 c_1c_2を計算してみましょう。


c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) ( 14 )


この式に角度の加法定理を当てはめると


c_1c_2=r_1r_2\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2\sin(\alpha+\beta) = r_1r_2(\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot\sin(\alpha+\beta)) ( 15 )


以上から、複素数の掛け算とは、大きさを掛け、偏角を足す計算であることがわかります。 つまり複素数の掛け算の単純な規則を覚えておけば、角度の加法定理は簡単に導けるということです。


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