「回転行列と複素数の積」の版間の差分
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となるはずです。\eqref{SeqRotationMatrix} と \eqref{AddRotation} は一致するはずですが、\eqref{SeqRotationMatrix} を計算すると | となるはずです。\eqref{SeqRotationMatrix} と \eqref{AddRotation} は一致するはずですが、\eqref{SeqRotationMatrix} を計算すると | ||
− | <math> | + | {{eqn|<math> |
\left( \begin{array} {cc} | \left( \begin{array} {cc} | ||
\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta & | \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta & | ||
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\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta | \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta | ||
\end{array}\right) | \end{array}\right) | ||
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となり、\eqref{AddRotation}と\eqref{AddRotation2}の関係は[[角度の加法定理]]と一致しています。 | となり、\eqref{AddRotation}と\eqref{AddRotation2}の関係は[[角度の加法定理]]と一致しています。 |
2014年12月28日 (日) 18:20時点における版
初歩的な話で申し訳ありませんが、他の説明で使いたいので、ここではベクトルと複素数と2次元回転の関係の話を書き留めておきます。
回転行列
2次元座標で原点を中心にした回転は、簡単な行列で表現できます。回転行列と呼ばれます。さっそく導いてみましょう。
任意の点 を、原点を中心に反時計回りに 回転させてみましょう。回転後の座標を とし、 の極座標での長さを 偏角を とすると
( 1 ) |
( 2 ) |
( 3 ) |
( 4 ) |
(3)と(4)は角度の加法定理をあてはめると
( 5 ) |
( 6 ) |
これに、(1)と(2)を使うと
( 7 ) |
( 8 ) |
これを行列を使って書き直せば
( 9 ) |
これが2次元の回転行列と呼ばれるもので、 を角度βだけ回転させ、 に変換します。
この回転行列を2個掛け合わせたらどうなるのでしょうか?
( 10 ) |
この行列はβの回転とαの回転を順次行うわけですから、α+βだけの回転になるはずで、これを回転行列で表現すると
( 11 ) |
となるはずです。\eqref{SeqRotationMatrix} と \eqref{AddRotation} は一致するはずですが、\eqref{SeqRotationMatrix} を計算すると
{{eqn||12}
となり、\eqref{AddRotation}と\eqref{AddRotation2}の関係は角度の加法定理と一致しています。
以上のように回転行列の積は回転角度の和に対応しており、角度の加法定理を覚えておけば回転行列は簡単に導けますし、回転行列を覚えておけば角度の加法定理を容易に導けます。
複素数の積
複素数の掛け算の演算規則は と単純ですが、 にもかかわらず幾何学的には「回転」と密接に関係しています。この関係が複素数の有用さの源泉になっています。その秘密をちょっと探ってみましょう。
複素数 、 をその大きさ 、 と偏角、 で表すと
構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha \label{c1}
構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_2 = r_2\cos\beta + \mathrm{i}\cdot r_2\sin\beta \label{c2}
となります。ここで複素数の積 を計算してみましょう。
構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) \label{ComplexProduct}
この式に角度の加法定理を当てはめると
構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_1c_2=r_1r_2\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2\sin(\alpha+\beta) = r_1r_2(\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot\sin(\alpha+\beta)) \label{ComplexProduct2}
以上から、複素数の掛け算とは、大きさを掛け、偏角を足す計算であることがわかります。
つまり複素数の掛け算の単純な規則を覚えておけば、角度の加法定理は簡単に導けるということです。
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