複素数の乗算と除算の魔法

ここまでの解説でようやく準備が整いましたので、複素数の乗算と除算の話を始めます。

角度の加法定理

実はこの話題は 「回転行列と複素数の積」 でも書いたのですが、あちらに飛んでいただくのもめんどうなので再掲します。

三角関数を習っている方ならおなじみとは思いますが、三角関数には角度の加法定理という有名な公式があります。この式は複素数の複素数の乗算と除算にきわめて関係が深いので、まず最初にこれを紹介しておきます。

\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

簡単ですよね。ここで何となく複素数の乗算に似てるなと思った人もいるかもしれません。ビンゴなのですが、では具体的にどう関係するか見てゆきましょう。

二つの複素数、 $c_1, c_2$ を考えます。それぞれ、絶対値は $r_1, r_2$ , 実軸からの角度(方向)は $\theta_1, \theta_2$ とすると

c_1 = r_1\angle\theta_1 = r_1\cos\theta_1 + ir_1\sin\theta_1

c_2 = r_2\angle\theta_2 = r_2\cos\theta_2 + ir_2\sin\theta_2

この２つの複素数の積をとると

\begin{array} {ll} c_1c_2 &= (r_1\cos\theta_1 + ir_1\sin\theta_1)(r_2\cos\theta_2 + ir_2\sin\theta_2) \\ &= (r_1\cos\theta_1\cdot r_2\cos\theta_2 - r_1\sin\theta_1\cdot r_2\sin\theta_2) +i\cdot(r_1\sin\theta_1\cdot r_2\cos\theta_2 + r_1\cos\theta_1\cdot r_2\sin\theta_2) \\ &= r_1r_2(\cos\theta_1\cdot \cos\theta_2 - \sin\theta_1\cdot \sin\theta_2) +i\cdot r_1r_2(\sin\theta_1\cdot \cos\theta_2 + \cos\theta_1\cdot \sin\theta_2) \\ &= r_1r_2(\cos(\theta1+\theta2) + i\sin(\theta1+\theta2)) \\ &= r_1r_2\angle(\theta1+\theta2) \end{array}

3行目で式の中に角度の加法定理の右側が現れたことがお分かりかと思いますが、角度の加法定理を使って式を簡単化すると、式が驚くほど簡単になってしまいます。

結局、複素数の積が何を表しているかというと

実にシンプルな関係です。では今度は除算に行ってみましょう。

同様に複素数 $c_1, c_2$ の商を計算すると

\begin{array} {ll} \frac{c_1}{c_2} &= \frac{r_1\cos\theta_1 + ir_1\sin\theta_1}{r_2\cos\theta_2 + ir_2\sin\theta_2} \\ &= \frac{(r_1\cos\theta_1 + ir_1\sin\theta_1)(r_2\cos\theta_2 - ir_2\sin\theta_2)}{(r_2\cos\theta_2 + ir_2\sin\theta_2)(r_2\cos\theta_2 - ir_2\sin\theta_2)} \\ &= \frac{ r_1r_2(\cos\theta_1\cdot \cos\theta_2 + \sin\theta_1\cdot \sin\theta_2) +i\cdot r_1r_2(\sin\theta_1\cdot \cos\theta_2 - \cos\theta_1\cdot \sin\theta_2)}{r_2^2} \\ &= \frac{ r_1r_2(\cos(\theta1-\theta2) + i\sin(\theta1-\theta2))}{r_2^2} \\ &= \frac{r_1}{r_2}\angle(\theta1-\theta2) \end{array}

つまり

これは乗数の反対のことを正確に行っているといえるでしょう。