「回転行列と複素数の積」の版間の差分
提供: tknotebook
(→回転行列) |
|||
| (1人の利用者による、間の13版が非表示) | |||
| 1行: | 1行: | ||
[[Category:数学]][[Category:線形代数]][[category:回転]] | [[Category:数学]][[Category:線形代数]][[category:回転]] | ||
| − | [[メインページ]]>[[数学の部屋 | + | [[メインページ]]>[[数学の部屋#回転]] |
初歩的な話で申し訳ありませんが、他の説明で使いたいので、ここではベクトルと複素数と2次元回転の関係の話を書き留めておきます。 | 初歩的な話で申し訳ありませんが、他の説明で使いたいので、ここではベクトルと複素数と2次元回転の関係の話を書き留めておきます。 | ||
| 18行: | 18行: | ||
{{eqn|<math> x' = r\cos(\alpha+\beta)</math>|3}} | {{eqn|<math> x' = r\cos(\alpha+\beta)</math>|3}} | ||
{{eqn|<math> y' = r\sin(\alpha+\beta)</math>|4}} | {{eqn|<math> y' = r\sin(\alpha+\beta)</math>|4}} | ||
| + | |||
(3)と(4)は[[角度の加法定理]]をあてはめると | (3)と(4)は[[角度の加法定理]]をあてはめると | ||
| + | |||
{{eqn|<math> x' = r\cos\alpha\cos\beta-r\sin\alpha\sin\beta</math>|5}} | {{eqn|<math> x' = r\cos\alpha\cos\beta-r\sin\alpha\sin\beta</math>|5}} | ||
{{eqn|<math> y' = r\sin\alpha\cos\beta+r\cos\alpha\sin\beta</math>|6}} | {{eqn|<math> y' = r\sin\alpha\cos\beta+r\cos\alpha\sin\beta</math>|6}} | ||
| + | |||
これに、(1)と(2)を使うと | これに、(1)と(2)を使うと | ||
| + | |||
{{eqn|<math> x' = \cos\beta\cdot x-\sin\beta\cdot y</math>|7}} | {{eqn|<math> x' = \cos\beta\cdot x-\sin\beta\cdot y</math>|7}} | ||
{{eqn|<math> y' = x\sin\beta\cdot x + \cos\beta\cdot y</math>|8}} | {{eqn|<math> y' = x\sin\beta\cdot x + \cos\beta\cdot y</math>|8}} | ||
| + | |||
これを行列を使って書き直せば | これを行列を使って書き直せば | ||
| + | |||
{{eqn|<math> \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right) = | {{eqn|<math> \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right) = | ||
\left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -sin\beta \\ \sin\beta& \ cos\beta \end{array}\right) | \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -sin\beta \\ \sin\beta& \ cos\beta \end{array}\right) | ||
\left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right)</math>|9}} | \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right)</math>|9}} | ||
| + | |||
これが2次元の回転行列と呼ばれるもので、<math>{\boldsymbol r} = \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) </math> を角度βだけ回転させ、<math>{\boldsymbol r'} = \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right)</math> に変換します。 | これが2次元の回転行列と呼ばれるもので、<math>{\boldsymbol r} = \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) </math> を角度βだけ回転させ、<math>{\boldsymbol r'} = \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right)</math> に変換します。 | ||
この回転行列を2個掛け合わせたらどうなるのでしょうか？ | この回転行列を2個掛け合わせたらどうなるのでしょうか？ | ||
| + | |||
{{eqn|<math> | {{eqn|<math> | ||
| 43行: | 51行: | ||
\left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta& \cos\beta \end{array}\right) | \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta& \cos\beta \end{array}\right) | ||
</math>|10}} | </math>|10}} | ||
| + | |||
この行列はβの回転とαの回転を順次行うわけですから、α+βだけの回転になるはずで、これを回転行列で表現すると | この行列はβの回転とαの回転を順次行うわけですから、α+βだけの回転になるはずで、これを回転行列で表現すると | ||
| + | |||
{{eqn|<math> | {{eqn|<math> | ||
| 50行: | 60行: | ||
</math>|11}} | </math>|11}} | ||
| − | となるはずです。 | + | |
| + | となるはずです。(10) と (11) は一致するはずですが、(10) を計算すると | ||
| + | |||
{{eqn|<math> | {{eqn|<math> | ||
| 59行: | 71行: | ||
\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta | \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta | ||
\end{array}\right) | \end{array}\right) | ||
| − | </math>|12} | + | </math>|12}} |
| − | となり、 | + | |
| + | となり、(10)と(11)の関係は[[角度の加法定理]]と一致しています。 | ||
以上のように回転行列の積は回転角度の和に対応しており、[[角度の加法定理]]を覚えておけば回転行列は簡単に導けますし、回転行列を覚えておけば角度の加法定理を容易に導けます。 | 以上のように回転行列の積は回転角度の和に対応しており、[[角度の加法定理]]を覚えておけば回転行列は簡単に導けますし、回転行列を覚えておけば角度の加法定理を容易に導けます。 | ||
| 72行: | 85行: | ||
複素数 <math>c1</math>、<math>c2</math> をその大きさ <math>r_1</math>、 <math>r_2</math> と偏角<math>\alpha</math>、<math>\beta</math> で表すと | 複素数 <math>c1</math>、<math>c2</math> をその大きさ <math>r_1</math>、 <math>r_2</math> と偏角<math>\alpha</math>、<math>\beta</math> で表すと | ||
| − | <math> c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha | + | |
| − | <math> c_2 = r_2\cos\beta + \mathrm{i}\cdot r_2\sin\beta | + | {{eqn|<math> c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha</math>、 <math> c_2 = r_2\cos\beta + \mathrm{i}\cdot r_2\sin\beta</math>|13}} |
| + | |||
となります。ここで複素数の積 <math>c_1c_2</math>を計算してみましょう。 | となります。ここで複素数の積 <math>c_1c_2</math>を計算してみましょう。 | ||
| − | <math> c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) | + | |
| + | {{eqn|<math> c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)</math>|14}} | ||
| + | |||
この式に角度の加法定理を当てはめると | この式に角度の加法定理を当てはめると | ||
| − | <math> c_1c_2=r_1r_2\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2\sin(\alpha+\beta) | + | |
| − | = r_1r_2(\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot\sin(\alpha+\beta)) | + | |
| + | {{eqn|<math> c_1c_2=r_1r_2\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2\sin(\alpha+\beta) | ||
| + | = r_1r_2(\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot\sin(\alpha+\beta))</math>|15}} | ||
| + | |||
以上から、複素数の掛け算とは、大きさを掛け、偏角を足す計算であることがわかります。 | 以上から、複素数の掛け算とは、大きさを掛け、偏角を足す計算であることがわかります。 | ||
2015年8月5日 (水) 05:24時点における最新版
初歩的な話で申し訳ありませんが、他の説明で使いたいので、ここではベクトルと複素数と2次元回転の関係の話を書き留めておきます。
回転行列
2次元座標で原点を中心にした回転は、簡単な行列で表現できます。回転行列と呼ばれます。さっそく導いてみましょう。
任意の点 
を、原点を中心に反時計回りに 
回転させてみましょう。回転後の座標を 
とし、
の極座標での長さを 
偏角を 
とすると
|
( 1 ) |
|
( 2 ) |
|
( 3 ) |
|
( 4 ) |
(3)と(4)は角度の加法定理をあてはめると
|
( 5 ) |
|
( 6 ) |
これに、(1)と(2)を使うと
|
( 7 ) |
|
( 8 ) |
これを行列を使って書き直せば
|
( 9 ) |
これが2次元の回転行列と呼ばれるもので、 を角度βだけ回転させ、 に変換します。
この回転行列を2個掛け合わせたらどうなるのでしょうか？
|
( 10 ) |
この行列はβの回転とαの回転を順次行うわけですから、α+βだけの回転になるはずで、これを回転行列で表現すると
|
( 11 ) |
となるはずです。(10) と (11) は一致するはずですが、(10) を計算すると
|
( 12 ) |
となり、(10)と(11)の関係は角度の加法定理と一致しています。
以上のように回転行列の積は回転角度の和に対応しており、角度の加法定理を覚えておけば回転行列は簡単に導けますし、回転行列を覚えておけば角度の加法定理を容易に導けます。
複素数の積
複素数の掛け算の演算規則は 
と単純ですが、
にもかかわらず幾何学的には「回転」と密接に関係しています。この関係が複素数の有用さの源泉になっています。その秘密をちょっと探ってみましょう。
複素数 
、
をその大きさ 
、 
と偏角、 で表すと
 、 
|
( 13 ) |
となります。ここで複素数の積 
を計算してみましょう。
|
( 14 ) |
この式に角度の加法定理を当てはめると
|
( 15 ) |
以上から、複素数の掛け算とは、大きさを掛け、偏角を足す計算であることがわかります。
つまり複素数の掛け算の単純な規則を覚えておけば、角度の加法定理は簡単に導けるということです。
次ページ 3次元の内積の幾何学的な性質 へ
