「回転行列と複素数の積」の版間の差分

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2次元座標で原点を中心にした回転は、簡単な行列で表現できます。回転行列と呼ばれます。さっそく導いてみましょう。
 
2次元座標で原点を中心にした回転は、簡単な行列で表現できます。回転行列と呼ばれます。さっそく導いてみましょう。
  
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任意の点 ${\bf r} = \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) $ を、原点を中心に反時計回りに $\beta$ 回転させてみましょう。回転後の座標を ${\bf r'} = \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right)$ とし、${\bf r}$ の極座標での長さを $r$ 偏角を $\alpha$ とすると
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任意の点 <math>{\bf r} = \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) </math> を、原点を中心に反時計回りに <math>\beta</math> 回転させてみましょう。回転後の座標を <math>{\bf r'} = \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right)</math> とし、<math>{\bf r}</math> の極座標での長さを <math>r</math> 偏角を <math>\alpha</math> とすると
  
  
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$$ x = r\cos\alpha \label{rx} $$
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<math> x = r\cos\alpha \label{rx} </math>
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$$ y = r\sin\alpha \label{ry} $$
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<math> y = r\sin\alpha \label{ry} </math>
  
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$$ x' = r\cos(\alpha+\beta) \label{r'x} $$
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<math> x' = r\cos(\alpha+\beta) \label{r'x} </math>
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$$ y' = r\sin(\alpha+\beta) \label{r'y} $$
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<math> y' = r\sin(\alpha+\beta) \label{r'y} </math>
  
 
\eqref{r'x} と \eqref{r'y} は[[角度の加法定理]]をあてはめると
 
\eqref{r'x} と \eqref{r'y} は[[角度の加法定理]]をあてはめると
  
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$$ x' = r\cos\alpha\cos\beta-r\sin\alpha\sin\beta \label{r'x2} $$
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<math> x' = r\cos\alpha\cos\beta-r\sin\alpha\sin\beta \label{r'x2} </math>
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$$ y' = r\sin\alpha\cos\beta+r\cos\alpha\sin\beta \label{r'y2} $$
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<math> y' = r\sin\alpha\cos\beta+r\cos\alpha\sin\beta \label{r'y2} </math>
  
 
これに、\eqref{rx} と \eqref{ry} を使うと
 
これに、\eqref{rx} と \eqref{ry} を使うと
  
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$$ x' = \cos\beta\cdot x-\sin\beta\cdot y \label{r'x3} $$
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<math> x' = \cos\beta\cdot x-\sin\beta\cdot y \label{r'x3} </math>
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$$ y' = x\sin\beta\cdot x + \cos\beta\cdot y \label{r'y3} $$
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<math> y' = x\sin\beta\cdot x + \cos\beta\cdot y \label{r'y3} </math>
  
 
これを行列を使って書き直せば
 
これを行列を使って書き直せば
  
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$$ \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right) =  
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<math> \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right) =  
 
\left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -sin\beta \\ \sin\beta& \ cos\beta \end{array}\right)
 
\left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -sin\beta \\ \sin\beta& \ cos\beta \end{array}\right)
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\left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) \label{RotationMatrix} $$
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\left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) \label{RotationMatrix} </math>
  
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これが2次元の回転行列と呼ばれるもので、${\bf r} = \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) $　を角度βだけ回転させ、${\bf r'} = \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right)$ に変換します。
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これが2次元の回転行列と呼ばれるもので、<math>{\bf r} = \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) </math>　を角度βだけ回転させ、<math>{\bf r'} = \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right)</math> に変換します。
  
 
この回転行列を2個掛け合わせたらどうなるのでしょうか？
 
この回転行列を2個掛け合わせたらどうなるのでしょうか？
  
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\left( \begin{array} {cc} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{array}\right)
 
\left( \begin{array} {cc} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{array}\right)
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\label{SeqRotationMatrix}
 
\label{SeqRotationMatrix}
  
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この行列はβの回転とαの回転を順次行うわけですから、α+βだけの回転になるはずで、これを回転行列で表現すると
 
この行列はβの回転とαの回転を順次行うわけですから、α+βだけの回転になるはずで、これを回転行列で表現すると
  
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<math>
 
\left( \begin{array} {cc} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta)& \cos(\alpha+\beta) \end{array}\right)
 
\left( \begin{array} {cc} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta)& \cos(\alpha+\beta) \end{array}\right)
 
\label{AddRotation}
 
\label{AddRotation}
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$$
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となるはずです。\eqref{SeqRotationMatrix} と \eqref{AddRotation} は一致するはずですが、\eqref{SeqRotationMatrix} を計算すると
 
となるはずです。\eqref{SeqRotationMatrix} と \eqref{AddRotation} は一致するはずですが、\eqref{SeqRotationMatrix} を計算すると
  
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$$
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<math>
 
\left( \begin{array} {cc}  
 
\left( \begin{array} {cc}  
 
\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta &  
 
\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta &  
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\end{array}\right)
 
\end{array}\right)
 
\label{AddRotation2}
 
\label{AddRotation2}
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</math>
  
 
となり、\eqref{AddRotation}と\eqref{AddRotation2}の関係は[[角度の加法定理]]と一致しています。
 
となり、\eqref{AddRotation}と\eqref{AddRotation2}の関係は[[角度の加法定理]]と一致しています。
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==複素数の積==
 
==複素数の積==
  
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複素数の掛け算の演算規則は $(a+\mathrm{i}\cdot b)(c+\mathrm{i}\cdot d)=ac-bd+\mathrm{i}\cdot (ad+bc) $ と単純ですが、
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複素数の掛け算の演算規則は <math>(a+\mathrm{i}\cdot b)(c+\mathrm{i}\cdot d)=ac-bd+\mathrm{i}\cdot (ad+bc) </math> と単純ですが、
 
にもかかわらず幾何学的には「回転」と密接に関係しています。この関係が複素数の有用さの源泉になっています。その秘密をちょっと探ってみましょう。
 
にもかかわらず幾何学的には「回転」と密接に関係しています。この関係が複素数の有用さの源泉になっています。その秘密をちょっと探ってみましょう。
  
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複素数 $c1$、$c2$ をその大きさ　$r_1$、 $r_2$ と偏角$\alpha$、$\beta$ で表すと
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複素数 <math>c1</math>、<math>c2</math> をその大きさ　<math>r_1</math>、 <math>r_2</math> と偏角<math>\alpha</math>、<math>\beta</math> で表すと
  
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$$ c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha \label{c1} $$
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<math> c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha \label{c1} </math>
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$$ c_2 = r_2\cos\beta + \mathrm{i}\cdot r_2\sin\beta \label{c2} $$
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<math> c_2 = r_2\cos\beta + \mathrm{i}\cdot r_2\sin\beta \label{c2} </math>
  
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となります。ここで複素数の積 $c_1c_2$を計算してみましょう。
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となります。ここで複素数の積 <math>c_1c_2</math>を計算してみましょう。
  
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$$ c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) \label{ComplexProduct}$$
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<math> c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) \label{ComplexProduct}</math>
  
 
この式に角度の加法定理を当てはめると
 
この式に角度の加法定理を当てはめると
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$$ c_1c_2=r_1r_2\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2\sin(\alpha+\beta)
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<math> c_1c_2=r_1r_2\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2\sin(\alpha+\beta)
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= r_1r_2(\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot\sin(\alpha+\beta)) \label{ComplexProduct2} $$
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= r_1r_2(\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot\sin(\alpha+\beta)) \label{ComplexProduct2} </math>
  
 
以上から、複素数の掛け算とは、大きさを掛け、偏角を足す計算であることがわかります。
 
以上から、複素数の掛け算とは、大きさを掛け、偏角を足す計算であることがわかります。

2014年12月28日 (日) 11:42時点における版

メインページ>数学の部屋>回転

初歩的な話で申し訳ありませんが、他の説明で使いたいので、ここではベクトルと複素数と2次元回転の関係の話を書き留めておきます。

回転行列

回転行列と複素数の積1.png

2次元座標で原点を中心にした回転は、簡単な行列で表現できます。回転行列と呼ばれます。さっそく導いてみましょう。

任意の点 構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {r}}}=\left({\begin{array}{cc}x\\y\end{array}}\right) 

を、原点を中心に反時計回りに \beta 回転させてみましょう。回転後の座標を 構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {r'}}}=\left({\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}}\right)
とし、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {r}}}
の極座標での長さを r 偏角を \alpha とすると


構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): x = r\cos\alpha \label{rx}

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): y = r\sin\alpha \label{ry}


構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): x' = r\cos(\alpha+\beta) \label{r'x}

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): y' = r\sin(\alpha+\beta) \label{r'y}


\eqref{r'x} と \eqref{r'y} は角度の加法定理をあてはめると

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): x' = r\cos\alpha\cos\beta-r\sin\alpha\sin\beta \label{r'x2}

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): y' = r\sin\alpha\cos\beta+r\cos\alpha\sin\beta \label{r'y2}


これに、\eqref{rx} と \eqref{ry} を使うと

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): x' = \cos\beta\cdot x-\sin\beta\cdot y \label{r'x3}

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): y' = x\sin\beta\cdot x + \cos\beta\cdot y \label{r'y3}


これを行列を使って書き直せば

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -sin\beta \\ \sin\beta& \ cos\beta \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) \label{RotationMatrix}


これが2次元の回転行列と呼ばれるもので、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {r}}}=\left({\begin{array}{cc}x\\y\end{array}}\right) 　を角度βだけ回転させ、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {r'}}}=\left({\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}}\right) 

に変換します。

この回転行列を2個掛け合わせたらどうなるのでしょうか？

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): \left( \begin{array} {cc} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta& \cos\beta \end{array}\right) \label{SeqRotationMatrix}


この行列はβの回転とαの回転を順次行うわけですから、α+βだけの回転になるはずで、これを回転行列で表現すると

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): \left( \begin{array} {cc} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta)& \cos(\alpha+\beta) \end{array}\right) \label{AddRotation}


となるはずです。\eqref{SeqRotationMatrix} と \eqref{AddRotation} は一致するはずですが、\eqref{SeqRotationMatrix} を計算すると

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): \left( \begin{array} {cc} \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{array}\right) \label{AddRotation2}


となり、\eqref{AddRotation}と\eqref{AddRotation2}の関係は角度の加法定理と一致しています。

以上のように回転行列の積は回転角度の和に対応しており、角度の加法定理を覚えておけば回転行列は簡単に導けますし、回転行列を覚えておけば角度の加法定理を容易に導けます。

複素数の積

複素数の掛け算の演算規則は (a+\mathrm{i}\cdot b)(c+\mathrm{i}\cdot d)=ac-bd+\mathrm{i}\cdot (ad+bc) と単純ですが、 にもかかわらず幾何学的には「回転」と密接に関係しています。この関係が複素数の有用さの源泉になっています。その秘密をちょっと探ってみましょう。

複素数 c1、c2 をその大きさ　r_1、 r_2 と偏角\alpha、\beta で表すと

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha \label{c1}

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_2 = r_2\cos\beta + \mathrm{i}\cdot r_2\sin\beta \label{c2}


となります。ここで複素数の積 c_1c_2を計算してみましょう。

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) \label{ComplexProduct}


この式に角度の加法定理を当てはめると 構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_1c_2=r_1r_2\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2\sin(\alpha+\beta) = r_1r_2(\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot\sin(\alpha+\beta)) \label{ComplexProduct2}


以上から、複素数の掛け算とは、大きさを掛け、偏角を足す計算であることがわかります。 つまり複素数の掛け算の単純な規則を覚えておけば、角度の加法定理は簡単に導けるということです。


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