「回転行列と複素数の積」の版間の差分

2014年12月28日 (日) 18:09時点における版

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初歩的な話で申し訳ありませんが、他の説明で使いたいので、ここではベクトルと複素数と2次元回転の関係の話を書き留めておきます。

回転行列

2次元座標で原点を中心にした回転は、簡単な行列で表現できます。回転行列と呼ばれます。さっそく導いてみましょう。

任意の点 を、原点を中心に反時計回りに 回転させてみましょう。回転後の座標を とし、 の極座標での長さを 偏角を とすると

( 1 )

( 2 )

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): x' = r\cos(\alpha+\beta) \label{r'x}

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): y' = r\sin(\alpha+\beta) \label{r'y}

\eqref{r'x} と \eqref{r'y} は角度の加法定理をあてはめると

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): x' = r\cos\alpha\cos\beta-r\sin\alpha\sin\beta \label{r'x2}

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): y' = r\sin\alpha\cos\beta+r\cos\alpha\sin\beta \label{r'y2}

これに、\eqref{rx} と \eqref{ry} を使うと

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): x' = \cos\beta\cdot x-\sin\beta\cdot y \label{r'x3}

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): y' = x\sin\beta\cdot x + \cos\beta\cdot y \label{r'y3}

これを行列を使って書き直せば

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): \left( \begin{array} {cc}x'\\ y' \end{array}\right) = \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -sin\beta \\ \sin\beta& \ cos\beta \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} x\\ y \end{array}\right) \label{RotationMatrix}

これが2次元の回転行列と呼ばれるもので、　を角度βだけ回転させ、 に変換します。

この回転行列を2個掛け合わせたらどうなるのでしょうか？

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): \left( \begin{array} {cc} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta& \cos\beta \end{array}\right) \label{SeqRotationMatrix}

この行列はβの回転とαの回転を順次行うわけですから、α+βだけの回転になるはずで、これを回転行列で表現すると

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): \left( \begin{array} {cc} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta)& \cos(\alpha+\beta) \end{array}\right) \label{AddRotation}

となるはずです。\eqref{SeqRotationMatrix} と \eqref{AddRotation} は一致するはずですが、\eqref{SeqRotationMatrix} を計算すると

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): \left( \begin{array} {cc} \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{array}\right) \label{AddRotation2}

となり、\eqref{AddRotation}と\eqref{AddRotation2}の関係は角度の加法定理と一致しています。

以上のように回転行列の積は回転角度の和に対応しており、角度の加法定理を覚えておけば回転行列は簡単に導けますし、回転行列を覚えておけば角度の加法定理を容易に導けます。

複素数の積

複素数の掛け算の演算規則は と単純ですが、 にもかかわらず幾何学的には「回転」と密接に関係しています。この関係が複素数の有用さの源泉になっています。その秘密をちょっと探ってみましょう。

複素数 、 をその大きさ　、 と偏角、 で表すと

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_1 = r_1\cos\alpha + \mathrm{i}\cdot r_1\sin\alpha \label{c1}

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_2 = r_2\cos\beta + \mathrm{i}\cdot r_2\sin\beta \label{c2}

となります。ここで複素数の積 を計算してみましょう。

構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_1c_2=r_1r_2(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) \label{ComplexProduct}

この式に角度の加法定理を当てはめると 構文解析に失敗 (不明な関数「\label」): c_1c_2=r_1r_2\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot r_1r_2\sin(\alpha+\beta) = r_1r_2(\cos(\alpha+\beta) + \mathrm{i}\cdot\sin(\alpha+\beta)) \label{ComplexProduct2}

以上から、複素数の掛け算とは、大きさを掛け、偏角を足す計算であることがわかります。 つまり複素数の掛け算の単純な規則を覚えておけば、角度の加法定理は簡単に導けるということです。

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