2次元の内積の幾何学的な性質

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2次元の内積の定義は簡単です。${\boldsymbol a}=(a_1, a_2)$、${\boldsymbol b}=(b_1, b_2)$ とすると内積は

${\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}=a_1b_1+a_2b_2$

( 1 )

この単純な定義からは信じられないことですが、内積には非常に美しい幾何学的な性質があります。

ベクトル $\boldsymbol a$ と $\boldsymbol b$ を図のようにベクトルの長さと偏角 $r_a, \alpha$、$r_b, \beta$ で、表すと、 それぞれのベクトルの $x$、 $y$ 成分は ${\boldsymbol a} = (r_a\cos\alpha, r_a\sin\alpha)$、${\boldsymbol b} = (r_b\cos\beta, r_b\sin\beta)$ となります。従って内積は

${\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}= r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)$

( 2 )

となります。どこかで見た形ですよね？ そう、角度の加法定理です。角度の加法定理で 紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は

${\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha)$

( 3 )

という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる $\beta-\alpha$ はベクトル $\boldsymbol a$ と $\boldsymbol b$ がなす角度です。 つまり、内積はベクトル $\boldsymbol a$ と $\boldsymbol b$ が同じ向きの時 $r_a r_b$　となり、正のもっとも大きな値になります。 $\boldsymbol a$ と $\boldsymbol b$ が垂直の時 $0$ になります。

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