「2次元の内積の幾何学的な性質」の版間の差分
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| − | 2次元の内積の定義は簡単です。 | + | 2次元の内積の定義は簡単です。<math>{\bf a}=(a_1. a_2) </math>、<math>{\bf b}=(b_1. b_2) </math> とすると内積は |
| − | + | <math> | |
{\bf a}\cdot {\bf b}=a_1b_1+a_2b_2 | {\bf a}\cdot {\bf b}=a_1b_1+a_2b_2 | ||
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| − | + | </math> | |
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| − | ベクトル | + | ベクトル <math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> を図のようにベクトルの長さと偏角 <math>r_a, \alpha</math>、<math>r_b, \beta</math> で、表すと、 |
| − | それぞれのベクトルの | + | それぞれのベクトルの <math>x</math>、 <math>y</math> 成分は |
| − | + | <math>{\bf a} = (r_a\cos\alpha, r_a\sin\alpha)</math>、<math>{\bf b} = | |
| − | (r_b\cos\beta, r_b\sin\beta) | + | (r_b\cos\beta, r_b\sin\beta)</math> となります。従って内積は |
| − | + | <math> | |
{\bf a}\cdot {\bf b}= | {\bf a}\cdot {\bf b}= | ||
r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= | r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= | ||
r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) | r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) | ||
\tag{2} | \tag{2} | ||
| − | + | </math> | |
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紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は | 紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は | ||
| − | + | <math> | |
{\bf a}\cdot {\bf b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha) | {\bf a}\cdot {\bf b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha) | ||
\tag{3} | \tag{3} | ||
| − | + | </math> | |
| − | という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる | + | という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる <math>\beta-\alpha</math> はベクトル <math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> がなす角度です。 |
| − | つまり、内積はベクトル | + | つまり、内積はベクトル <math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> が同じ向きの時 <math>r_a r_b</math> となり、正のもっとも大きな値になります。 |
| − | + | <math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> が垂直の時 <math>0</math> になります。 | |
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2014年12月28日 (日) 11:32時点における版
2次元の内積の定義は簡単です。構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {a}}}=(a_{1}.a_{2})
、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {b}}}=(b_{1}.b_{2})
とすると内積は
構文解析に失敗 (字句解析エラー): {\bf a}\cdot {\bf b}=a_1b_1+a_2b_2 \tag{1}
この単純な定義からは信じられないことですが、内積には非常に美しい幾何学的な性質があります。
ベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}
と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
を図のようにベクトルの長さと偏角 
、
で、表すと、
それぞれのベクトルの 
、 
成分は
構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {a}}}=(r_{a}\cos \alpha ,r_{a}\sin \alpha )
、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {b}}}=(r_{b}\cos \beta ,r_{b}\sin \beta )
となります。従って内積は
構文解析に失敗 (不明な関数「\tag」): {\bf a}\cdot {\bf b}= r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \tag{2}
となります。どこかで見た形ですよね？ そう、角度の加法定理です。角度の加法定理で 紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は
構文解析に失敗 (字句解析エラー): {\bf a}\cdot {\bf b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha) \tag{3}
という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる 
はベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}
と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
がなす角度です。
つまり、内積はベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}
と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
が同じ向きの時 
となり、正のもっとも大きな値になります。
構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}
と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
が垂直の時 
になります。
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