「2次元の内積の幾何学的な性質」の版間の差分
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(r_b\cos\beta, r_b\sin\beta)</math> となります。従って内積は | (r_b\cos\beta, r_b\sin\beta)</math> となります。従って内積は | ||
| − | <math> | + | {{eqn|<math> |
{\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}= | {\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}= | ||
r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= | r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= | ||
r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) | r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) | ||
| − | + | </math>|2}} | |
| − | </math> | + | |
2014年12月28日 (日) 18:00時点における版
2次元の内積の定義は簡単です。
、
とすると内積は
|
( 1 ) |
この単純な定義からは信じられないことですが、内積には非常に美しい幾何学的な性質があります。
ベクトル 
と 
を図のようにベクトルの長さと偏角 
、
で、表すと、
それぞれのベクトルの 
、 
成分は
、
となります。従って内積は
|
( 2 ) |
となります。どこかで見た形ですよね？ そう、角度の加法定理です。角度の加法定理で
紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は
構文解析に失敗 (字句解析エラー): {\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha) \tag{3}
という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる 
はベクトル と がなす角度です。
つまり、内積はベクトル と が同じ向きの時 
となり、正のもっとも大きな値になります。
と が垂直の時 
になります。
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