「2次元の内積の幾何学的な性質」の版間の差分

2014年12月28日 (日) 23:29時点における版

2次元の内積の定義は簡単です。 ${\boldsymbol a}=(a_1. a_2)$ 、 ${\boldsymbol b}=(b_1. b_2)$ とすると内積は

{\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}=a_1b_1+a_2b_2

( 1 )

この単純な定義からは信じられないことですが、内積には非常に美しい幾何学的な性質があります。

ベクトル $\boldsymbol a$ と $\boldsymbol b$ を図のようにベクトルの長さと偏角 $r_a, \alpha$ 、 $r_b, \beta$ で、表すと、それぞれのベクトルの $x$ 、 $y$ 成分は ${\boldsymbol a} = (r_a\cos\alpha, r_a\sin\alpha)$ 、 ${\boldsymbol b} = (r_b\cos\beta, r_b\sin\beta)$ となります。従って内積は

{\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}= r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)

( 2 )

となります。どこかで見た形ですよね？そう、角度の加法定理です。角度の加法定理で紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は

{\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha)

( 3 )

という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる $\beta-\alpha$ はベクトル $\boldsymbol a$ と $\boldsymbol b$ がなす角度です。つまり、内積はベクトル $\boldsymbol a$ と $\boldsymbol b$ が同じ向きの時 $r_a r_b$ 　となり、正のもっとも大きな値になります。 $\boldsymbol a$ と $\boldsymbol b$ が垂直の時 $0$ になります。