「2次元の内積の幾何学的な性質」の版間の差分

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2次元の内積の定義は簡単です。\({\bf a}=(a_1. a_2) \)、\({\bf b}=(b_1. b_2) \) とすると内積は
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2次元の内積の定義は簡単です。<math>{\bf a}=(a_1. a_2) </math>、<math>{\bf b}=(b_1. b_2) </math> とすると内積は
  
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<math>
 
{\bf a}\cdot {\bf b}=a_1b_1+a_2b_2　
 
{\bf a}\cdot {\bf b}=a_1b_1+a_2b_2　
 
\tag{1}
 
\tag{1}
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[[ファイル:2次元の内積の幾何学的性質.png]]
 
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ベクトル \(\bf a\) と \(\bf b\) を図のようにベクトルの長さと偏角 \(r_a, \alpha\)、\(r_b, \beta\) で、表すと、
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ベクトル <math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> を図のようにベクトルの長さと偏角 <math>r_a, \alpha</math>、<math>r_b, \beta</math> で、表すと、
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それぞれのベクトルの \(x\)、 \(y\) 成分は
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それぞれのベクトルの <math>x</math>、 <math>y</math> 成分は
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\({\bf a} = (r_a\cos\alpha, r_a\sin\alpha)\)、\({\bf b} =  
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<math>{\bf a} = (r_a\cos\alpha, r_a\sin\alpha)</math>、<math>{\bf b} =  
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(r_b\cos\beta, r_b\sin\beta)\) となります。従って内積は
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(r_b\cos\beta, r_b\sin\beta)</math> となります。従って内積は
  
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<math>
 
{\bf a}\cdot {\bf b}=
 
{\bf a}\cdot {\bf b}=
 
r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta=
 
r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta=
 
r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)
 
r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)
 
\tag{2}
 
\tag{2}
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</math>
  
  
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紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は
 
紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は
  
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<math>
 
{\bf a}\cdot {\bf b}　= r_a r_b\cos(\beta-\alpha)
 
{\bf a}\cdot {\bf b}　= r_a r_b\cos(\beta-\alpha)
 
\tag{3}
 
\tag{3}
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</math>
  
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という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる \(\beta-\alpha\) はベクトル \(\bf a\) と \(\bf b\) がなす角度です。
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という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる <math>\beta-\alpha</math> はベクトル <math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> がなす角度です。
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つまり、内積はベクトル \(\bf a\) と \(\bf b\) が同じ向きの時 \(r_a r_b\)　となり、正のもっとも大きな値になります。
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つまり、内積はベクトル <math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> が同じ向きの時 <math>r_a r_b</math>　となり、正のもっとも大きな値になります。
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\(\bf a\) と \(\bf b\) が垂直の時 \(0\) になります。
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<math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> が垂直の時 <math>0</math> になります。
  
  
 
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2014年12月28日 (日) 11:32時点における版

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2次元の内積の定義は簡単です。構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {a}}}=(a_{1}.a_{2}) 、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {b}}}=(b_{1}.b_{2}) 

とすると内積は

構文解析に失敗 (字句解析エラー): {\bf a}\cdot {\bf b}=a_1b_1+a_2b_2　 \tag{1}


この単純な定義からは信じられないことですが、内積には非常に美しい幾何学的な性質があります。

2次元の内積の幾何学的性質.png

ベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}} 

と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
を図のようにベクトルの長さと偏角 r_a, \alpha、r_b, \beta で、表すと、

それぞれのベクトルの x、 y 成分は 構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {a}}}=(r_{a}\cos \alpha ,r_{a}\sin \alpha ) 、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {b}}}=(r_{b}\cos \beta ,r_{b}\sin \beta ) 

となります。従って内積は

構文解析に失敗 (不明な関数「\tag」): {\bf a}\cdot {\bf b}= r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \tag{2}


となります。どこかで見た形ですよね？ そう、角度の加法定理です。角度の加法定理で 紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は

構文解析に失敗 (字句解析エラー): {\bf a}\cdot {\bf b}　= r_a r_b\cos(\beta-\alpha) \tag{3}


という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる \beta-\alpha はベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}} 

と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
がなす角度です。

つまり、内積はベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}} 

と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
が同じ向きの時 r_a r_b　となり、正のもっとも大きな値になります。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}} 

と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
が垂直の時 0 になります。


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