2次元の内積の幾何学的な性質

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2次元の内積の定義は簡単です。${\boldsymbol a}=(a_1. a_2)$、${\boldsymbol b}=(b_1. b_2)$ とすると内積は

${\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}=a_1b_1+a_2b_2$

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この単純な定義からは信じられないことですが、内積には非常に美しい幾何学的な性質があります。

ベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}

と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
を図のようにベクトルの長さと偏角 $r_a, \alpha$、$r_b, \beta$ で、表すと、

それぞれのベクトルの $x$、 $y$ 成分は 構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {a}}}=(r_{a}\cos \alpha ,r_{a}\sin \alpha ) 、構文解析に失敗 (構文エラー): {{\bf {b}}}=(r_{b}\cos \beta ,r_{b}\sin \beta )

となります。従って内積は

構文解析に失敗 (不明な関数「\tag」): {\bf a}\cdot {\bf b}= r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \tag{2}

となります。どこかで見た形ですよね？ そう、角度の加法定理です。角度の加法定理で 紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は

構文解析に失敗 (字句解析エラー): {\bf a}\cdot {\bf b}　= r_a r_b\cos(\beta-\alpha) \tag{3}

という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる $\beta-\alpha$ はベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}

と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
がなす角度です。

つまり、内積はベクトル 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}

と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
が同じ向きの時 $r_a r_b$　となり、正のもっとも大きな値になります。

構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {a}}

と 構文解析に失敗 (構文エラー): {\bf {b}}
が垂直の時 $0$ になります。

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