2次元の内積の幾何学的な性質
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2次元の内積の定義は簡単です。、 とすると内積は
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この単純な定義からは信じられないことですが、内積には非常に美しい幾何学的な性質があります。
ベクトル と を図のようにベクトルの長さと偏角 、 で、表すと、 それぞれのベクトルの 、 成分は 、 となります。従って内積は
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となります。どこかで見た形ですよね? そう、角度の加法定理です。角度の加法定理で
紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は
{eqn|構文解析に失敗 (字句解析エラー): {\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha) |3}
という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる はベクトル と がなす角度です。 つまり、内積はベクトル と が同じ向きの時 となり、正のもっとも大きな値になります。 と が垂直の時 になります。
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