「2次元の内積の幾何学的な性質」の版間の差分

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2次元の内積の定義は簡単です。<math>{\boldsymbol a}=(a_1. a_2) </math>、<math>{\boldsymbol b}=(b_1. b_2) </math> とすると内積は
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2次元の内積の定義は簡単です。<math>{\boldsymbol a}=(a_1, a_2) </math>、<math>{\boldsymbol b}=(b_1, b_2) </math> とすると内積は
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{\bf a}\cdot {\boldsymbol b}=a_1b_1+a_2b_2
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{\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}=a_1b_1+a_2b_2
 
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ベクトル <math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> を図のようにベクトルの長さと偏角 <math>r_a, \alpha</math>、<math>r_b, \beta</math> で、表すと、
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ベクトル <math>\boldsymbol a</math> と <math>\boldsymbol b</math> を図のようにベクトルの長さと偏角 <math>r_a, \alpha</math>、<math>r_b, \beta</math> で、表すと、
 
それぞれのベクトルの <math>x</math>、 <math>y</math> 成分は
 
それぞれのベクトルの <math>x</math>、 <math>y</math> 成分は
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<math>{\bf a} = (r_a\cos\alpha, r_a\sin\alpha)</math>、<math>{\bf b} =  
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(r_b\cos\beta, r_b\sin\beta)</math> となります。従って内積は
 
(r_b\cos\beta, r_b\sin\beta)</math> となります。従って内積は
  
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{\bf a}\cdot {\bf b}=
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{\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}=
 
r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta=
 
r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta=
 
r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)
 
r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)
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紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は
 
紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は
  
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{\bf a}\cdot {\bf b}　= r_a r_b\cos(\beta-\alpha)
 
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\tag{3}
 
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という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる <math>\beta-\alpha</math> はベクトル <math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> がなす角度です。
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つまり、内積はベクトル <math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> が同じ向きの時 <math>r_a r_b</math>　となり、正のもっとも大きな値になります。
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{\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha)
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<math>\bf a</math> と <math>\bf b</math> が垂直の時 <math>0</math> になります。
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という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる <math>\beta-\alpha</math> はベクトル <math>\boldsymbol a</math> と <math>\boldsymbol b</math> がなす角度です。
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つまり、内積はベクトル <math>\boldsymbol a</math> と <math>\boldsymbol b</math> が同じ向きの時 <math>r_a r_b</math>　となり、正のもっとも大きな値になります。
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2015年8月5日 (水) 05:24時点における最新版

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2次元の内積の定義は簡単です。{\boldsymbol a}=(a_1, a_2) 、{\boldsymbol b}=(b_1, b_2) とすると内積は


{\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}=a_1b_1+a_2b_2 ( 1 )


この単純な定義からは信じられないことですが、内積には非常に美しい幾何学的な性質があります。

2次元の内積の幾何学的性質.png

ベクトル \boldsymbol a と \boldsymbol b を図のようにベクトルの長さと偏角 r_a, \alpha、r_b, \beta で、表すと、 それぞれのベクトルの x、 y 成分は {\boldsymbol a} = (r_a\cos\alpha, r_a\sin\alpha)、{\boldsymbol b} = (r_b\cos\beta, r_b\sin\beta) となります。従って内積は


{\boldsymbol a}\cdot {\boldsymbol b}= r_a\cos\alpha \cdot r_b\cos\beta+r_a\sin\alpha \cdot r_b\sin\beta= r_a r_b(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) ( 2 )


となります。どこかで見た形ですよね？ そう、角度の加法定理です。角度の加法定理で 紹介した定理を符号を注意して当てはめると、内積は


{\boldsymbol a}\cdot{\boldsymbol b} = r_a r_b\cos(\beta-\alpha) ( 3 )


という単純かつ美しい式に変身します。式中に現れる \beta-\alpha はベクトル \boldsymbol a と \boldsymbol b がなす角度です。 つまり、内積はベクトル \boldsymbol a と \boldsymbol b が同じ向きの時 r_a r_b　となり、正のもっとも大きな値になります。 \boldsymbol a と \boldsymbol b が垂直の時 0 になります。


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